Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу 4.1.18. Транспонированная матрица. Транспонированной называют матрицу, которую можно получить из матрицы а, заменив строки столбцами. Обозначим ее через а. Тогда Например, матрица ik - Г 2 4 3 2 8 является транспонированной по отношению к Г2 4 5-1 3 2 7 4 Матрица, транспонированная, матрице произведения двух матриц, равна произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (4) = Ра. Действительно, матрица (а) получена вначале умножением элементов строк а на элементы столбцов р, а затем заменой строк на столбцы. Тот же результат можно получить, умножая элементы столбцов р, т. е. строк р, на элементы строк а, т. е. столбцов а. Указанное правило непосредственно распространяется на произведение более чем двух матриц: . (а р ... ш) = (О ... I а. Замечания. 1. Рассмотрим скалярное произведение двух векторов и и V, представленных соответственно матрицами Оно может быть записано в системе прямоугольных координат: Чтобы получить это произведение по правилу матричного умножения, следует принять, что ..f =[ 1 то есть P=uv. Квадрат модуля вектора и будет, следовательно, равен 2. Билинейная форма, иначе говоря, выражение, зависящее от двух переменных 2 у г ( г1-1 + г2-2 + + 0.,Xj, г=1 может быть записана в матричном виде как уа.х или хау, если через у, х, а обозначить следующие матрицы:
При X - у получаем квадратичную форму. Примеры.
L -2 J = [-1-21 3 О 1 2 1Уз. [Х1Х2]
== У1 (3xi + Х2) + У22Х2 + Уз (- Xi Л- х. -Xj -f- XjXg х 4.1,19. Обратная матрица. Рассмотрим матрицу а, преобразующую вектор и в вектор ю. v=au. Иначе говоря, речь идет о таблице коэффициентов, входящих в п линейных соотношений =2 £Л (г=1, 2, ). (1) Рассмотрим матрицу р, определяющую обратное преобразование от нового вектора v к прежнему вектору и u = v, иначе говоря, таблицу коэффициентов, входящих в следующие линейные соотношения: (У=Ь 2, п). Матрица называется обратной по отношению к матрице а и обозначается через а~1. Коэффициенты системы соотношений (2) можно получить из системы (1), решив ее относительно щ, и, .... Иу.....и . Они могут быть вычислены по известной формуле Крамера: Здесь Д - определитель матрицы а, -алгебраическое дополнение соответствующего элемента ау, т. е. определитель, который получают, вычеркивая в Д строку и столбец, пересекающиеся на элементе а, снабженный множителем (-if). Следует обратить внимание на то, что элемент находящийся на пересечении строки у и столбца / в р, соответствует в а минору Aij, относящемуся к элементу а-, который находится на пересечении строки I и столбца у. На практике вычисление матрицы, обратной а, осуществляется так: 1. Выписывают матрицу а, транспонированную по отношению к а. 2. Заменяют каждый элемент матрицы а определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на которых расположен данный элемент. 3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус - в противном случае. 4. Делят полученнзпо матрицу на Д - определитель матрицы а. Пример. Требуется вычислить матрицу, обратную Матрица а будет Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца: 3 -6 -3 24 3 -6 L 22 4 -3J Переменим знаки у элементов с нечетной суммой индексов. Тогда 3 +6 -3--24 +3 +Q L-f-22 -4 -3 Разделим на Д=15. Таким образом, получаем Матрица, обратная матрице произведения двух матриц, равна произде-дению обратных матриц, взятых в обратном порядке, т. е. ) Алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора мно.и-телем (-l)-.
|