Действительно, рассмотрим произведение ар а В силу ассоциативности операции умножения (п. 4.1.11), а~а - [I]. Обозначая =-у и учитывая, что Т~ = [1]. находим

Это правило непосредственно распространяется и на произведение любого числа матриц:

(ар ... ш) =0) ... fi а .

Замечания. 1. При вычислении обратной матрицы предполагается, что определитель матрицы отличен от нуля, иначе говоря, что матрица невырождена; В противном случае определить обратную матрицу невозможно.

Сказанное относится и ко всем не квадратным матрицам. Их можно всегда сделать квадратными, прибавив необходимое число нулей, но тогда определитель матрицы будет равен нулю.

2. В случае диагональной матрицы обратная матрица также диагональна. Элементы ее, не равные нулю, представляют собой обратные величины диагональных элементов заданной матрицы:

О b О О

О О с О

3. Мы видели, что правило умножения двух матриц то же, что и умножения двух определителей. Однако аналогия между матричным исчислением и операциями с определителями на этом и заканчивается. В частности, правило умножения на число и правило сложения очень различны. Действительно,

Точно так же а а.

2

а -f-a а,+ а;

2-Ь 2 а +а

2 + 2

2Ь 26,

2с 2с,

2Ь 2с.

b b.

Мы не останавливаемся, конечно, на глубоком различии сущности обоих понятий. Предыдущее замечание было сделано только для того, чтобы внешняя аналогия не привела к ошибкам из-за смешения правил вычисления.

4.1.20. Применение матричного исчисления к решению системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений может быть выполнено по формулам Крамера. Матричные обозначения позволяют записать систему в сжатой форме и, таким образом, делают более удобным обращение с нею. В особенности матричные обозначения облегчают получение некоторых групп неизвестных, причем часто отпадает необходимость вычислять остальные неизвестные.

Рассмотрим систему линейных уравнений

У1 =0-11X1+ ... +ai A: ,

Если обозначить через у матрицу

через X матрицу

а через а

матрицу коэффициентов, то система (3) может быть записана в форме

у = ах.

Положим, что нам нужно решить эту систему относительно первых k неизвестных х, ..., л;,. Мы можем написать матрицу а в виде

Ее можно рассматривать как составленную из четырех матриц Ai, А, А, А. Подобным же разложением получим

Ух yft+i

L 2J

и X

Следовательно, систему (3) можно представить как

Формулы умножения матриц показывают, что можно считать матрицы Лр Л2, Л3, Л4, 1, Х, К Kg составными элементами и записать систему в виде

Fi = Л,;1-+-Л22, .......

2=.31Н-Л-2-

Исключим из этой системы Х. Последовательным вычислением получим

Х2=-А1\Уг - АгХ{), . YxAiXxAiAi{Y., - AbXi)

и окончательно

Г] - Л2Л4-2 = (Л1 - Л2Л4-М3) Al.

Это - группа из k линейных уравнений вида Y = аХ, она не содержит

больше .....х .

Пример. Решить относительно Xj. систему

X-f- х3+ х4+ х5== 3,

Xi Н- 2X2 + + ЗХ4 + 4X5 :

2х,-

-2x3 + 2x4 -3X5 = -16.

3x1+2x2 + 3x3 + 4x4+ х5= 2. -Xi+ Xg -4x3 + 4x4+2x5 = -12.

Разложим матрицы х, у, а следующим образом:

Имеем последовательно:

4 -16

- ~ Ш

-10 -16 L 28 О

Л2Л4 К2=+

45 11

Л2Л4 Лз

. 1

+ Т12

14 -7 - 14J 32 12

Ki -Л2Л4-К2 = +

Л1 -Л2Л4Лз= +

67 101

63 105

Получаем систему уравнений, содержащих только х, и х2:

которая может быть записана в виде

( 4= 67Xi+ 6ЗХ2,

1 -4 = 101x1+ 105x2.

В заключение отметим, что теоретически систему (3) можно полностью решить очень быстро. В- матричных обозначениях имеем

у = ах.