откуда

Практически расчет сводится к вычислению а~. Это совпадает с вычислением по формулам Крамера.

4.1.21. Преобразование системы координат. Рассмотрим изменение

составляющих вектора Mj, , м при преобразовании системы координат.

Обозначим составляющие вектора в новой системе через t/j, U, - f/ . Вектор, который в прежней системе был выражен матрицей

будет в новой системе выражен матрицей

Имеет место однородное линейное соотношение между координатами и и U:

или и - aU.

Матрица о и есть матрица преобразования координат.

Член - это составляющая по прежней оси i для единичного вектора, расположенного вдоль новой оси k. Из этого вытекает, что матрица, образованная столбцом k матрицы о

°2к

представляет собой в прежней системе координат единичный вектор новой оси k. И обратно, если известны составляющие единичных векторов, расположенных вдоль новых осей, матрица преобразования образуется последовательным сочетанием в надлежащем порядке п одностолбцовых матриц, представляющих единичные векторы новых осей в старой системе.

Замечание. Если число независимых векторов (размерность) прежнего и нового пространства различно, то матрица преобразования прямоугольна. Вектор, представленный в прежнем пространстве матрицей

.будет представлен в новом пространстве матрицей

Всегда будет иметь место равенство и - aU, но в матрице о будет п строк т столбцов.

4.1.22. Ортогональное преобразование. Нам нужно определить матрицу преобразования о, с помощью которого пространство, отнесенное к ортогональным осям координат, преобразуется в новое пространство, также отнесенное к ортогональным осям *). Для этого достаточно, чтобы при таком преобразовании сохранились длины векторов **).

Пусть задан вектор, представляемый в прежнем пространстве матрицей а; квадрат его модуля равен ии. В новом пространстве, где тот же вектор выражен через матрицу U, этот квадрат будет равен UU. Следовательно,

поэтому т. е.

ии = ии. u - aU, откуда u = Ua; UU==UaaU, 00 = [1] или 0 = 0~.

Итак, матрица о выражает ортогональное преобразование, если транспонированная по отношению к ней матрица совпадает с обратной.

Рассмотрим два вектора, представленные в- некоторой системе координат матрицами и а v. Матрица а связывает проекции этих векторов на оси координат.

Преобразуем систему координат с помощью матрицы о. Тогда координаты обоих векторов образуют в новой системе матрицы U а V. Отыщем матрицу р, связывающую новые координаты этих векторов:

V = pt/.

В матричных обозначениях имеем

v = au, v = aV, u = aU, oV = aof/.

Уножим обе части последнего равенства слева на a~. Тогда

V = o-iao[/,

откуда

*) Система осей называется ортогональной, если скалярное произведение двух любых ненулевых векторов, параллельных различным осям, равно нулю.

**) Это равносильно сохранению скалярного произведения (см. [3], стр. 178).

Если преобразование о ортогонально, то о - a. В этом случае

Р = оао. (5)

4.1.23. Пример ортогональных преобразований. Поворот. Рассмотрим трехмерную прямоугольную систему координат с осями Ол: Oxg, Ох и новую систему, полученную из предыдущей поворотом на угол -j-cp вокруг оси Ох. Матрица преобразования координат будет

coscp sincp L О

- Sincp COS ср О

Если бы были сделаны повороты на углы +ф и -f-G вокруг осей Ох и 0x2, то ь! получили бы матрицы

10 О

О со5ф -sin -О Sine]/ созф-

COS 6

L-Sine

sin О

COS BJ

Они, очевидно, определяют ортогональные преобразования. Действительно, легко убедиться, что обратные матрицы совпадают с транспонированными.

Если последовательно осуществить повороты вокруг координатных осей на углы ф, 6, ср, то матрица о полного преобразования будет равняться

Обобщение на комплексное пространство

В ге-мерном комплексном пространстве условно считают, что координаты, отложенные на осях, являются комплексными числами. Это пространство существенно отличается от комплексной плоскости, используемой в теории комплексных чисел, где на осях откладывают вещественные числа, являющиеся действительной и мнимой частью комплексных чисел.

Определим предварительно два новых типа матриц.

4.1.24. Эрмитова матрица. Эрмитовой называется матрица, в которой элементы, симметричные по отношению к главной диагонали, - комплексные сопряженные числа:

Например, матрица

2 2 + Зу 2 -Зу 4

- -/ 3

эрмитова.

Элементы главной диагонали эрмитовой матрицы обязательно вещественны. Вещественная эрмитова матрица симметрична.

4.1.25. Эрмитово-сопряженная матрица. Эрмитово-сопряженная матрица получается транспонированием исходной матрицы а и заменой получен-ных элементов на комплексно-сопряженные. Обозначим ее через а . Согласно определению имеем.