Здесь дается пример а и ее эрмитово-сопряженной матрицы а :

1+У 4 У -5 О 1-У

.3+2/ -3 ~J \

l~J 5 3 - 2/ 4 0-3

L-/ 1 + / у .

Можно заметить, что эрмитова матрица равна своей эрмитово-сопряженной. Действительно, для эрмитовой матрицы а

иг

Следовательно, а+ = а.. и а - а.

Пусть дано произведение двух матриц а и р. Тогда

В самом деле,

В более общем случае имеем

(ар ... О)) = ш+ ... р+а+.

4.1.26. Модуль и скалярное произведение в комплексном пространстве. Рассмотрим в ге-мерном комплексном пространстве вектор а, представленный п комплексными числами. Координаты вектора образуют матрицу

Чтобы модуль любого комплексного вектора был вещественной и положительной величиной, его определяют в ортогональных координатах формулой

ttP= ; ,... -f- x.

Мы видели, что квадрат модуля вектора равен произведению двух матриц

а в сокращенной матричной записи

и+и.

Чтобы скалярное произведение вектора на самого себя было равно квадрату длины этого вектора, мы определим здесь скалярное произведение соотношением

u-v = u\-\- ... -иу

a i i + 2 2 -4- - - + ( - X) н == 0.

Так как по крайней мере одна из величин Kj, ..., к отлична от нуля, то определитель системы п однородных линейных уравнений равен нулю:

а - X ... !

. Ч>-)=.......... =0.

а , а 2 ... а - X

или В сокращенной матричной записи

Определенное таким образом скалярное произведение уже не коммутативно.

Все правила, относящиеся к преобразованиям .с помощью матриц, к произведению матриц, к обратной матрице и т. д., легко обобщаются на комплексное пространство.

4.1.27. Ортогональное преобразование комплексного пространства (унитарное преобразование). Ортогональное комплексное пространство называется унитарным. Определим характер матрицы о, преобразующей унитарное пространство в другое такое же. Для этого достаточно, чтобы сохранялись длины векторов, т. е. модуль вектора, представленного двумя матрицами и и U, был инвариантен. Поэтому

Рассуждение такое же, как в п. 4.1.22. приводит к следующему условию, которому должна удовлетворять матрица о:

Следовательно, унитарная матрица такова, что ее эрмитово-сопряженная и обратная матрицы совпадают Если бы матрица была вещественной, то мы имели бы о=о и пришли бы к уже известной формуле а = а~. Легко доказать, что формула (4)

справедлива и в комплексном пространстве. Если а - унитарная матрица, то (4) принимает вид

Р = о+ао. .

4.1.28. Собственные значения, собственные векторы и характеристическое уравнение матрицы. Дана матрица а = (ад,] и вектор, отличный от нуля, представленный матрицей и. Если вектор и таков, что преобразования, которые выполняет над ним матрица а, сводятся к удлинению или сжатию, то он называется собственным вектором, его направление - собственным направлением и коэффициент его удлинения или сжатия X - собственным значением матрицы а. Это имеет место, если

аи = ки (к-число)

2ftt i = ft (А==1, 2.....п).

Напишем это равенство в развернутом виде. Имеем п соотношений

( 11 ->) iH-ai2 2+ - - H-ai = 0, а21 1-Ь(а22-) 2+ +а2 и = 0.

Раскрыв определитель, получаем уравнение для вычисления собственных значений X. Оно называется характеристическим уравнением матрицы а.

Корень Xj, подставленный в систему уравнений, позволяет вычислить собственный вектор, иначе говоря, собственное направление, отвечающее этому собственному значению X.

Пример. Дана матрица

- 6 2

Ее характеристическое уравнение 11 Х -6 2 6 10 -X -4

- 6 10

-4 6 -X

= -XS + 27X2 - 180Х-1-324 = 0.

Оно имеет корни

Xj = 18, Х2=6, Хз==3.

Найдем собственное направление, соответствующее Х,. Подставляя Xj в систему, получим ,

8м1-;6м2+2мз = 0, -6hj + 7н2 - 4нз = 0. 2м, - 4м2+3мз = 0.

Определитель этой системы равен нулю. Поэтому можно отбросить последнее уравнение и решать полученную систему по отношению к произвольной переменной, например, к, = Cgi

-6м2 + 2мз = -Sc 7Й2 - 4мз= бср

Отсюда и получаем собственное направление для Х, = 3:

1 2 .2

Таким же образом можно найти собственные- направления для Х2 = 6, Xi=18:

4.1.29. Свойства характеристического уравнения. Расположим определитель Д(Х) по убывающим степеням X:

( 1) х +(-1Г Чх + ... -л ,х+л = о.

Коэффициент Л, не что иное, как сумма элементов главной диагонали 21 й/!-- Эту сумму называют следом матрицы. След матрицы по теореме

Виета равен сумме ее собственных значений.

Коэффициент Л равен определителю а матрицы. Значит, по той же теореме а равен произведению собственных значений а.