4.1]

АЛГЕБРА МАТРИЦ

Мы докажем важное свойство характеристического уравнения: оставаться инвариантным при всех преобразованиях системы координат. Действи-те.1ьно, характеристический многочлен является определителем матрицы

1а]-Х[1]. (7>

Преобразуем систему координат с помощью матрицы о. Тогда матрица х преобразуется по формуле (4)

о~аа =: р или ор = ао. Характеристический многочлен матрицы Р равен определителю матрицы

IP!-МП-Очевидно, .4 .

[0]I1] = I1][G1.

Тогда из предыдущего ясно, что . .

[GldPl -Х[1]} = {1а]-Х[1]}[а].

Произведение определителей коммутативно. Поэтому после деления обеих частей равенства на о имеем

[а-1аа]-Х[1] = [а]~Х[1].

Это и показывает инвариантность характеристического уравнения Д(Х) = 0.

4.1.30. Матрица, отнесенная к собственным направлениям. Предположим что характеристическое уравнение Д(Х)==0 имеет лишь простые корни. Тогда п собственных направлений различны. Их можно принять за оси координат.

Пусть .л Xj, , Х - корни уравнения Д(Х) = 0. Докажем, что в новой

системе координат матрица а получит вид

Х, О ... О

Хг ... О О ... Х

Это, очевидно, диагональная матрица; она сообщает вектору на г-й оси лишь удлинение или сокращение в Х раз. Обозначим через н, проекцию на ось k собственного вектора, соответствующего собственному значению Х. Тогда матрицей преобразования координат о станет матрица [ 1. Произведение оао представит в этом случае преобразование матрицы а в системе координат, оси которой имеют направления собственных векторов а. Это будет, следовательно, матрица (8).

Пример. Обратимся к примеру п. 4.1.28. Матрица о и обратная ей матрица о~ равны, (с точностью до коэффициентов с, с, Cg)

2 1 -

2 -2

Произведение a~icxo будет

0-1=: -

-3 -6

-6 -6--3 6 6 -3

2. 1

2 -2

4.1.31. Условия коммутативности двух матриц. Даны две матрицы аир. Предположим, что их характеристические уравнения содержат лишь простые корни. Если матрицы коммутируют, то

ар = ра.

Пусть и - собственный вектор а, представленный одностолбцовой матрицей и. Тогда

аи = Хн (к - число).

Преобразуем вектор и с помощью матрицы ар. Имеем

ари = рай = рХн = Хрн.

СоотноТшение арн = Хрн показывает, что вектор, представленный матрицей рн, также является собственным вектором матрицы а с тем же собственным значением X. Он параллелен вектору и, так как корни характеристического уравнения матрицы а простые. Можно поэтому написать

Рн = [АН ([х - число).

Последнее равенство показывает, что и - собственный вектор и матрицы р.

Итак, если Две матрицы коммутируют, то у них одинаковые собственные направления.

Докажем и обратное. Даны две матрицы а и р, имеющие одинаковые собственные направления. Если принять эти направления за оси координат, то обе матрицы получают вид

1-1 О О Хз

о о о ...

Так как обе они Диагональны, то они, очевидно, коммутируют.

Нетрудно показать, что это свойство сохранится и в первоначальной системе.координат.

4.1.32. Собственные значения и собственные направления эрмитовой матрицы. Все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны, а собственные направления ортогональны. Докажем это.

Эрмитова матрица характеризуется равенством

а+=а.

Пусть и - собственный вектор, а X - соответствующее собственное значение. Тогда

ан = Хн.

Умножим обе части уравнения на н+:

н+ан = Хн+и. Применим операцию + к обеим частям равенства

(н+ан)+=(Хн+н)+.

Раскрывая скобки и замечая, что операция + для числа означает переход к комплексно-сопряженному значению, имеем

н+а+н++ = Х*н+и ++,

иаи -ки+и.

потому что и+- = и. Так как, кроме того, а+=:а, то , -

н+ан==л*н+н;

но аи = ки, поэтому

Следовательно, л = Х*. Это доказывает, что X-вещественное число.

Покажем также, что собственные векторы ортогональны. Даны два различных собственных значения X и [а и два соответствующих им собственных вектора и и. v. Имеем

ан = \и, av = v. Умножаем соответственно на и W:

vau - Xvu, (9)

н+аг; =:[ак+У. (10)

Применим операцию + к обеим частям равенства (9):

( у+ан)- =(Хг;-н) . uci.+v = Vu+v. (11)

Так как а=:а+, а \ - V, то соотношение (11) принимает вид

uav=\uv.

Сравнивая с (10), получаем

([а - l)uv = 0.

Так как ji, X то uV = Q, а это доказывает, что оба вектора и w v ортогональны.

Замечание. Отсюда следует, что и для симметричной матрицы собствен,-ные направления ортогональны, так как такая матрица представляет собой частный случай эрмитовой.

Функции от матриц 4.1.33. Степень матрицы.!). Матрица равна произведению ст. ... а.

р раз

Если матрица а отнесена к своим собственным направлениям, то она имеет диагональную форму и, будучи возведена в степень р, дает

rxf О ... О

О Xf ... О

LO О ... XJ

Действительно, должна преобразовать вектор v, расположенный по оси /, в вектор, представленный матрицей

Случай дробной степени изложен в п. 4.1.38.