Матрица а преобразует составляющую н,. в а матрица Д(а) преобразует эту составляющую в AQUi. Последнее выражение равно нулю, так как Д (л) = 0. А следовательно, и все составляющие вектора Д (а) и равны нулю. Поскольку вектор и произволен, то матрица Д(а) должна быть нулевой*).

4.1.35. Функции от матриц. Теорема Сильвестра. Пусть Р(х) - многочлен степени п - 1 и пусть Cj, Со, -.., й - п различных произвольных постоянных. Следующее тождество называется интерполяционной формулой Лагранжа (см. п. 10.3.2):

Символ JI означает произведение одночленов для всех значений

S-1, 2, ti, кроме 8 = г.

Определение степени матрицы дает возможность определить многочлен от матрицы. Заменив в предыдущем тождестве х на матрицу а, получаем новое тождество

][[(а-аЛ1])

Теорема Кэли - Гамильтона позволяет показать, что матричный многочлен от а степени может быть выражен при помощи матричного многочлена степени п-1. Действительно, пусть Д(Х) = 0 - характеристическое уравнение. Тогда, поскольку Д(а)=[0], имеем

Х = Л1Х -+ ... +(~1) -Ч.

Последовательные умножения на X и а этих соотношений показывают, что степени Х * и а + могут быть выражены соответственно как функции X, .... Х ~ и а, а . Таким образом, если /(х) - многочлен степени большей или равной п, то

/(Х) = Р(Х),

/(а) = Р(а),

. *) Это доказательство справедливо при наличии и собственных направлений. Общий случай рассмотрен, например, в [3], стр. 26, 27.

Случай отрицательных р не представляет трудностей, если только матрица а невырождена.

4.1.34.. Теорема Кэли -Гамильтона. Покажем, что результат подстановки квадратной матрицы в ее характеристическое уравнение дает нулевую матрицу

Д(а) = 10].

Пусть и - вектор, составляющие которого по собственным направлениям матрицы а равны

гдеР(х) - некоторый многочлен степени п- 1. Применим к многочлену Р(а) тождество Лагранжа. Предположив, что все собственные значения различны, мы можем, в силу предыдущих соотнощений, написать следующую формулу, выражающую теорему Сильвестра:

(12)

( -.[1])

П(г-Х.)

Пусть tp (х) - функция, разложимая в степенной ряд, сходящийся при х<р. Обозначим этот ряд через /(х). Тогда формула (12) показывает, что ряд /(а) сходится в том случае, если все ряды /(Х) сходятся. Это позволяет применять теорему Сильвестра не только к многочлену, но также и к функции, разложимой в степенной ряд.

Замечание. Легко показать, что матрица имеет следующие свойства:.

она вырождена и ранга 1;

f О-

если р + г, если р - г.

откуда

По формуле (12) при /(Х)=1 имеем

i:z,=m.

Точно так же применение формулы (12) к /(а) = а дает

a=21Z,.

Пример. Применим формулу (12) к вычислению матричного много-

члена

где матрица а равна

ср(а) = а2+За+[1],

11-6 2 - 6 10-4 2-4 6

Собственные значения матрицы а были вычислены ранее (см. п. 4.1.28): Х,= 18, Х2 = 6, 3 = 3.

Отсюда

(p(Xj) = 379, tp(X) = 55, (р(Хз)=19.

6 о о

0 6 0 0 0 6

11-6 2 -6 10-4 2-4 6

(3 -6)(3 - 18)

Такой же расчет для и Zj дает

2 --д-

4 2-4 2 1 -2 -4 -2 4

-4 2

откуда

9(a) = Q

1755 -1368 576 -1368 1647 -792 576 - 792 675

-4 2 4 -2 -2 1

195 -152 64 -152 183 -88 64 - 88 75

Прямое вычисление, гораздо более легкое в данном случае из-за простоты функции ср, дает тот же результат:

1 О О О 1 О О О 1

195 -152 64 -152 183 -88 64 - 88 75

4.1.36. Формула Бэкера. Формулу для ср(а) можно представить и в другом виде!):

D D

В этой формуле D - определитель Вандермонда:

1 1 ... 1

ia -2H- ... +а + [1].

-1 -1 л-1

Ai Л2 ... Х

(13)

) Baker Н. F., Ргос. Lond. Math. See, 1902, pp. 347 - 360; 1905, pp. 293-296; Phil. Trans. Roy. Soc. [A], 19l6, pp. 129-186.

Таким образом, ср (а) = ср (Х,) Zj + ср (Х) Z + ср (Xg) Zg,