Обозначим комплексный ток в цепи через g-], а напряжение - 2/= Положим s - 8 = 9. Величина ff , комплексно сопряженная току ff, равна g*~ le , а произведение 21 g* равно t/Ze- *= t/Ze*. Активная мсшность в цепи будет UIcos , а реактивная - UI sin Мы видим, таким образом, что для отыскания активной и реактивной мощности, расходуемой в цепи с комплексным током g и

комплексным напряжением 2, доста- i-1 1-1 1-i TVTSTV

точно взять вещественную и мнимую L J I I I I V VV

части выражения Ug . /р

1.2.5. Понятие комплексного полного сопротивления. Рассмотрим Рис. 1.10.

цепь, составленную из омического

сопротивления R и самоиндукции L (рис. 1.10). Требуется найти разность потенциалов u = U sin Uot -f- f). возникающую на концах цепи, если в ней течет ток l - Ism(}at-\-a). Имеем

u = L-§+Ri. (4)

Положим

н=.,Уе° . ige , где й = /е g=Ie\ Правая часть формулы (4) представляет собой частный случай выражения (3). Мы можем найти 2i, если подставим i в (4) и опустим множитель е .

содержащийся в обеих частях ра-1-1 г-1 1-J 11 венства (4):

Заметим, что в последнем ра-Рис. 1.11. венствё время не фигурирует. Коэф-

фициент пропорциональности Z между и v[ g является комплексным числом, не зависящим от времени. Он имеет размерность сопротивления и называется комплексным полным сопротивлением *).

Разность потенциалов определяется мнимой частью и. Сохраняя для нее прежнее обозначение, имеем

а-и ьт ((at -- ср),

U=f\Z\=fj/R+W.

ср = а + р, tg = L(aiR.

Рассмотрим теперь ту же задачу для цепи с емкостью С, соединенной последовательно с сопротивлением R (рис. 1.11). Уравнение задачи следующее:

н Iidt.

В тех же обозначениях имеем 7- R---j g = Zg. В вещественной форме напряжение будет

и=г= t/sin(tuf 4-ср),

*) Комплексное полное сопротивление цепи иногда называют импедансом цепи.

t/= / I ZI = /г 1/С2а)2. <р = а+р, tgp = -1 ?Са).

Замечание. Вычисления в обоих предыдущих примерах имели одно несущественное осложнение - сдвиги фаз. Удобно, если это возможно, выбирать начало отсчета времени так, чтобы исходная величина имела нулевую фазу. Например, если задан ток /, то следует выбрать начало так, чтобы а = 0. Тогда

g = l и

Заметим также, что совершенно не обязательно анализ задач, подобных рассмотренным выше, производить в вещественной форме.

Комплексное полное сопротивление Z содержит все интересующие нас данные, так как Z есть коэффициент пропорциональности между амплитудами тока и напряжения, а argZ равен разности фаз между ними.

Понятие комплексного полного сопротивления позволяет сохранить обычный закон Ома для комплексных токов и разности потенциалов:

1.2.6. Комплексное полное сопротивление при последовательном и параллельном соединении. Рассмотрим цепь, состоящую из соединенных . последовательно самоиндукций, емкостей и сопротивлений (рис. 1.12).

I Такую цепь всегда можно сгруппировать в виде отдельных участ-

ков, подобных рассмотренным в п. 1.2.5. Если по ней течет ком-Zj плексный ток g, то разность комплексных потенциалов на концах всей цепи представляет собой сумму разностей комплексных по-тенциалов на концах каждого участка цепи:

Рис. 1.12.

UgZy

(Z,-hZ.,

Ь ... +z )=z.

Рис. 1.13.

Следовательно, комплексное полное сопротивление всей цепи представляет собой сумму комплексных полных сопротивлений отдель-. ных участков цепи. А комплексная разность потенциалов равна произведению этого сопротивления на комплексный ток.

. В случае же если дано несколько цепей, соединенных параллельно (рис. 1.13), то

?/ = Z,i = Z22= --Zg,.

Полный ток g представляет собой сумму парциальных токов g g.....Sп-

Следовательно,

- = - + - 4- -

Значит, правила для комплексных токов здесь такие же, как и для постоянных токов.

1.2.7. Законы Кирхгофа. Рассмотрим некоторую цепь и узел О, в который стекаются р комплексных токов gggp (рис. 1.14). Геометрическая сумма токов /, + /3-4- -hp равна нулю, или, что то же самое.

сумма комплексных токов 2 ffn--

Если мы будем перемещаться по контуру (рис. 1.15), встречая по пути р цепей с комплексными полными сопротивлениями Zj; Zj, , Z, то будет

Рис. 1.14.

Рис. 1.15.

геометрическая

сумма встреченных разностей потенциалов

равна нулю

f/,Н-ь/зЧ- - .- -hp или, что то же самое, будет равна нулю сумма разностей комплексных потенциалов:

2 gnZ.0.

Замечание. Если наряду с комплексными полными сопротивлениями Zj.....Z в цепи содержатся также источники комплексной электродвижущей силы i той же частоты, что и питание основной сети, то сформулированное выше правило получает такой вид:

I;(gnZn-~& )0.

fi=l

Выведенные формулы позволяют свести вычисление комплексного полного сопротивления сложной цепи к вычислению комплексных полных сопротивлений отдельных участков этой цепи.

В окончательном виде комплексное полное сопротивление Z{jm) можно представить как

Za-co) = /?(a)) + yX(a)),

где /?( )) - активное сопротивление, а X {т) - реактивное српротивление цепи. Разность фаз между напряжением и током ср = arg Z (уш), а отношение амплитуд напряжения и тока равно \Z(Jiu)\.

В конкретной физической задаче комплексное полное сопротивление определяется через решение линейного дифференциального уравнения с вещественными коэффициентами. Следовательно, функция Z зависит только от вещественных коэффициентов уравнения и от ytu. Это означает, что мнимость