Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу где \.....Х - корни характеристического уравнения матрицы а, а Dr j - определитель, полученный из D заменой элементов г-й строки на (Xj).....ср cp(Xi) ср(Х2) Хх Хг ,/г-1 1/г-1 Xi Хг . 1 л - ср(Х ) . хг Применим формулы (12) и (13) к простому случаю, в котором непосредственное вычисление также не представляет затруднений. Пусть требуется 1 О вычислить матрицу е°, причем а = нальна, то прямое вычисление дает О 2 . Так как эта матрица диаго- pi Р о О 2 Поэтому со р=0 р=0 е О О е2 Xj=l, Х2 = 2. Применим теперь формулу (12): Матрицы Zj и Z2 получаются следующим образом: 1- 1 2 -
2 - 1 О О О 1 Это дает
Воспользуемся формулой (13): Xj Xg 1 1 gK gK g\ g2
1 2 = 1. = - e, = 2e - e2. По формуле Бэкера имеем ,. = а+-[1] = (с2-с) 1 О О 2 + (2е-е2)
4Л.37. Высокие степени матрицы. Применим формулу (12) к функции а. Имеем Очевидно, Z не зависит от р. Предположим, что п корней характеристического многочлена Д(Х) расположены по убывающим модулям: Х,>Х2> ... >Х . Если р очень велико, то можно пренебречь Xf.....Х по сравнению с Xf и написать Пример. Требуется вычислить приближенное значение 11 -6 2- - 6 10-4 2-4 6 Хз=3. Корни характеристического многочлена равны Х, = 18, Х2 = 6, Z] уже было вычислено в п. 4.1.35: 4 -4 1- 9 Следовательно, 2 -2 2 -2 1 - 6 2 10 -4 - 4 6 -,428 2- 18 7 4 -4 -4 4 2 -2 2 -2 1 4.1.38. Дробная степень матрицы. Рассмотрим для примера матрицу степени /g с двумя строками и двумя столбцами. Формула (Сильвестра (12), примененная к функции ср(а) = а/г, дает a = XlZi + X2Z2. Это можно проверить и непосредственно. Действительно, возводя обе части равенства в квадрат, получаем а == {xfzi + >Z2f = X,Z! + Xf Х {ziz-2 + Z2Z1) + hzl В силу свойств матриц (п. 4.1.35) правая часть сводится к XiZj + XgZg, что по формуле (12) тождественно а. Подобной же проверкой нетрудно убедиться, что в качестве квадратного корня из матрицы а может быть взято любое из четырех выражений ±itZi±}!iZi. В более общем виде можно показать, что существует т корней т-й степени из матрицы порядка п при условии, что все собственные значения матрицы различны. Если это не так, то существует бесконечное множество корней. Действительно, отыщем квадратный корень единичной матрицы второго порядка (ее собственные значения совпадают). Имеем
±1 о о ±1 либо откуда искомый квадратный корень равен либо а b 1 при условии, что I ~ а- = be. Иначе говоря, получаем беско- С -С1 печное множество решений. 4.1.39. Приближенное вычисление собственных значений матрицы. Пусть X, - то собственное значение, которое имеет наибольший модуль. а) Собственное значение вещественно. В п. 4.1.37 мы видели, что при бесконечно возрастающем р может быть представлена в виде XfZi. Отсюда следует, что если р достаточно велико, то для матриц и а справедливо приближенное равенство Если fij и gij - два элемента, занимающие одинаковые места соответственно в матрицах ар и аР+Ч то р-са j 1} Пример. Найдем собственное значение с наибольшим модулем мат- рицы Вычисление дает - 6 2 - 6 10 -4 897 385 550 4 898 507 481 -4 897 385 550 4 897 949 796 2 448 135 090 -2 449 250 460 2 448135 090 -2 449 250 460 1 225 189 476
|