Вычислим только элемент матрицы аР. Он равен 88 164165 771. Разделив на элемент /л матрицы а, получим X, 17,9981... А нам известно, что точное значение равно 18.

б) Собственное значение комплексно. Ограничимся матрицами с вещественными элементами. Пусть Х, и Xj - два комплексных сопряженных собственных значения с наибольшим модулем. Напишем предельную форму соотношения Сильвестра для функции хРх), где Р(х) - некоторый мно- гочлен, не зависящий от р:

аРр (а) XfP (Xi) Zi + XfP (Хг) Zz-

Возьмем Тогда и

Отсюда . или

Р(х) = (х-Х,)(х -Х). Р(сх) = (а -Х,11])(а-ХЕП) Р(Х,) = Р(Х2)=0.

аР(а -Xi[l])(a -Х2[1])0, аР+2 (X, 4- Xj) + о.Р\\ 0.

Пусть hij, gij, fij будут элементами, занимающими одинаковые места соответственно в матрицах а+Ч аР. Если р достаточно велико, то

hl-,-gij(kx + 4 + fi?2

Для других соответствующих элементов имеем

hki - ёы (>Ч + 2) + /м2 0. Решая эти уравнения и полагая \ - а-\- jb, l-о- - Jb, получаем

XjX2=a2 + 2 =

Xj + X2 = 2a=:

Пример. Требуется найти собственные значения матрицы

О 1 О

О 1 1

10 -10 6

Найти их очень легко, так как характеристическое уравнение имеет простой вид

, ХЗ -7X2+16Х-10 = 0.

Его корни

Xi = 3 + y.

:3-у.

Хз=1.

Воспользуемся предыдущим способом. Вычисляем последовательно

13 810 -13 809 3 837

10 .

38 370 38 640 38 370 92 130 76 960 92 130 169 090

75 зео

-38 369 -38 640 -38 369 -92 129 -76 960

- 92 129 -169 089

- 75 360

9213 7 616

9213 16 909 7 536

16 909 9 225 -31 744

Взяв г = у = 1, k = l = 3, получим

= 10,00035.

--6,00040,

тогда как точные значения будут:

fi2+* = (3 + /)(3-/)=10, 2о = (3 + У) + (3-у)=6.

Замечание. Если собственное значение с наибольшим модулем вещественно, то элементы возрастающих степеней матрицы монотонно возрастают. Если это не так, то колебания, доходящие иногда до перемень знака, указывают, что собственное значение с наибольшим модулем будет комплексным числом.

Упрощение метода. Способ, состоящий в том. чтобы возводить матрицу а п-то порядка в возрастающие степени, требует каждый раз вычисления произведений. Можно свести число произведений до п, если, используя ассоциативность, вместо матриц а, а, сиР, аР+, аР+2 образовать-матрицы ad, аЫ, aPd, a+i d, аР+ d, обозначив через d матрицу, представляющую собой произвольный вектор с координатами dj, .....n-

Пусть опять Xj - собственное значение, имеющее наибольший модуль. Рассмотрим отдельно два случая.

а) Собственное значение \ вещественно. Как и в предыдущем случае, gfj и fij-элементы матриц aP+i и аР. Элементы и одностолб- новых матриц aP+d, аР d соответственно равны

Ci=-gijdi. bi=Zfijdj. J i

Если p достаточно велико то отношение g к f близко к Xj. Следовательно, также дело обстоит и с элементами Cj и bi- Поэтому мы можем написать

Xi = Iin-. fi-.

Так как

fij-Sij -I- 2)+Л-/12 - 0-j ./ J

Замечания. 1. Сказанное выше означает, что повторное умножение матрицы на любой вектор стремится повернуть этот вектор вдоль собственного направления матрицы, соответствующего собственному значению с наибольшим модулем. Следовательно, вектор, представленный матри-,цей а d, стремится к собственному вектору, соответствующему собственному значению \, и при достаточно большом р может слиться с этим собственным вектором.

Докажем это положение. Числа, пропорциональные координатам н и, - - . и собственного вектора, соответствующего собственному значению с наибольшим модулем \, получаются из однородного уравнения

\а~\{\]]ит. (14)

Но по теореме Кэли - Гамильтона

{a-Xai]}Z,.= д[°>=[0]. . (15)

Сравнив уравнения (14) и (15), мы видим, что элементы матриц и и Zd пропорциональны. С другой стороны, известно, что если р достаточно велико, то ad kZid, т. е. матрица Zd является с точностью до постоянного -коэффициента пределом ad. Следовательно, этот предел определяет собственное направление, соответствующее \.

2. Пусть после того, как найдено собственное значение с наибольшим модулем, требуется определить собственное значение Xj, модуль которого является следующим по величине после модуля Xj. В п. 4.1.35 получена формула

В матрице

собственное значение заменено нулем, но сохраняются все остальные собственные значения матрицы а. Поэтому, чтобы продолжить вычисление, достаточно применить к матрице р тот или другой из рассмотренных методов. Первый метод. Если р достаточно велико, то

XfZi.

Отсюда

Способ вычисления а и \ указан ранее.

б) Собственное значение Л, комплексно. Как и в предыдущем случае, пусть fj, glj, hj - элементы матриц аР, аР, аР а Ь, с. - элементы одностолбцовых матриц аР d, аР+ d, аР+ d. Если р достаточно ве--лико, то мы имеем соотнощение