Второй метод. Если при вычислении Xj был использован вектор d, то

Pdad -X}-Vd.

Способ вычисления одностолбцовых матриц ad и ad указан ранее. Пример. Возьмем матрицу а из первого примера п. 4.1.39. Получаем

21 Г 8 -8 41 -8 8 -4 -4-4 2J

-7 8

а - ki а =

L 2 -4

3 2 -2 2 2 О L-2 О 4J

Собственные значения матрицы р равны О, 6, 3.

4.1.40. Приближенное вычисление корней уравнения п-к степени. Все предыдущие вычисления применимы без изменения к вычислению корня с наибольшим модулем уравнения

/() = 2 +ai -i+ ... -ffi i2+a ==0

при условии, что удастся составить матрицу, имеющую в качестве характеристического многочлена функцию f (z). Докажем, что это всегда возможно Сопоставим с многочленом f(z) матрицу

и докажем, что (-l) f(z) представляет собой характеристический многочлен этой матрицы.

Действительно, характеристический многочлен матрицы а может быть записан в виде

Допустим, что такой определитель из п- 1 строк и столбцов равен (-1) (2 ~+0,2 + ... Тогда, разложив определитель (*)

по элементам первого столбца, получаем

т. е.

-2(-1ГЧ -+ 1 -+ +a -i)-(-iy

( 1) ( j a.z- + ... + fi ). (-l) /(-)-

Так как правило очевидно при п-1, то оно имеет место для любого п.

*) Он отделен штриховой, линией.

Пример 1. Требуется решить уравнение

f(z) = z- 1622-1-682; -80 = 0.

Тогда

О 1 О

Возьмем вектор и -

LlJ 20 811 520 208 246 016 L2 082 983 936J

Последовательным умножением получаем

208 246 016 2 082 983 936 L20 831 935 488 J

Отношение дает 10, 0010..а решение уравнения второй сте-

пени, полученное после деления f(z) на z -10,0010, дает Xg: 3,996..., /.3 = 2,003...

Точные значения корней 10, 4, 2.

Пример 2. Требуется решить уравнение

/(г) = гЗ-72-b 17.гЧ-25 = 0.

Тогда

L-25

О -17

Возьмем вектор tt =

918721 4 368 961 L11 983 645J

К-] = а й =

Последовательное умножение дает

[Cf] = аЮн =

11 983 645 -13 354 847 L-406 429 919J

4 368 961 11 983 645 .- И 354 847J

Отсюда

= 25,0002...,

: 7,99985...

Точные значения корней: = 4 -4- З/. Х2 = 4 - Зу, Xj = - 1. Замечания. 1. Б использованном методе ошибка при вычислениях не имеет большого значения: она просто отодвигает момент получения иско-

мого корня. Действительно, ошибка в произведении аи приводит к изменению вектора и, а так как он произволен, то это не сказывается на окончательном результате.

2. Приближенные методы, изложенные в п. 4.1.39 и 4.1.40, имеют своей основой теорему Сильвестра, выраженную формулой (12). Эта формула неверна, если имеется двойной корень характеристического уравнения. Однако, устремив друг к другу два корня Х, и легко показать, что прибли-

женные методы не полностью изменяются при наличии двойного, а в более общем случае - кратного корня, если только он не является также корнем с наибольшим модулем \. В этом случае мы можем вывести новую формулу для приближенного вычисления корней, но менее простую, чем предыдущие. Если Xj - кратный корень, то порядок кратности всех корней удобно свести к единице следующим способом.

У функций f{z) и /(г) кратные корни общие. Последовательным делением мы можем найти их общий наибольший делитель:

f = fA + R .. . .

/?] RC /?з.

Получение нулевого остатка показывает, что R и есть общий наибольший делитель. Уравнение ш = ~ = О содержит все корни уравнения f - 0, но при этом кратность корней уже будет равна единице.

Дифференциальные операции над матрицами. Применение к решению дифференциальных уравнений

4.1.41. Дифференцирование и интегрирование матрицы. Пусть дана матрица [а], элементы которой aj суть функции одной переменной t:

Производная матрицы [а] определяется соотношением

Аналогично

[а]-.

f[a]dt

fa ,dt... fa dt