Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу цию j ( )dt. Имеем y = yc-\-Qo-y- Подставляя это значение у в правую часть уравнения, последовательно получаем: У = Уо+Q (Уо+Q (Уо+) У = Уо + УоСк + УоО Са + Q<=Q Q y и т. д. В результате имеем y = yo(l+Q + QaQa + QaQaQa+ ...). Этот ряд быстро сходится. Аналогично поступим с матричным уравнением Начальные условия: [лг] = [л: (о)] в момент времени t = tQ. Если обозначить через Q операцию интегрирования J( )dt, то Q[a]=[Qa]. 4.1.42. Решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим следующую систему, к которой всегда можно привести любую линейную систему первого порядка: - = а2Л + 22-2+ +Чп>п = Л + а 2Л;2-Ь + - - Обозначив через D операцию дифференцирования, мы можем записать систему при помощи матричных обозначений: Рассмотрим сначала случай, когда п=\. Пусть дано уравнение и поставлены начальные условия: у - у при t ~ t. Тогда У = У(,-\- j ii)ydt. Это -интегральное уравнение может быть решено последовательным приближением (метод Пикара). Пусть Q - оператор, определяющий опера- + /( )dt f( )dt f ( )dt+ ... . to to t I Назовем его оператором интегрирования. Результат операции произве- денной над матрицей [а], равен ( t t t t t t j Q.*\a] = {[\\4- jVAdt+ f [a] dt f la]dt+ f [a] dt f [a] dt f [a] dt. . .\. lo 0 0 *0 0 0 I Мы можем достаточно долго продолжать вычисления, чтобы обеспечить любую наперед заданную точность. Итак, решение системы имеет вид lx(t)]Qla]lx(to)]. Заметим, что с помощью оператора интегрирования можно сразу жсл написать s°V] = [ii. Если дифференцировать 2° [а] по t, то находим Если элементы матрицы [а] - постоянные, то Qtr. t it-to) так как в этом случае Q [а] Q [а] Q [а] . . . Q [а] =-(= Н . п раз 4.1.43. Система дифференциальных уравнений первого порядка, с постоянными коэффициентами. В этом случае все элементы матрицы [а], не зависят от t и согласно предпоследней формуле решение lxit)]=Q[a][x(to)] моисет быть записано в виде n lx(t)] = e-°lxito)]. Матрицу е можно легко вычислить при помощи формулы Бэкераг (см. п. 4.1.36). Интегральное уравнение задачи имеет вид [X {t)\ [х (г?о)] + J [а (01 [X {t)\ dt. Решая это уравнение последовательным приближением, получим {X {t)} = {[ 11 + Q [а] + Q [а] Q [а] + Q [а] Q [а] Q [а] + . . i} [X {t)]. Обозначим через * оператор, определенный следующим образом: It > t [il + J( )dt + j{ )dtfi )dt-\- { to to to Возьмем систему двух уравнений. Имеем [а]: Корни характеристического уравнения X - (а -- aj,) X -f- ajjOgg - oLjfhi = О -будут - л, = а -I- = G - Z?. .Применение формулы Бэкера дает - -Отсюда л-де g{a+b)(t-tt) gi.a-bi{t-h) gia+b) U-to) gla-b] it-te) a-\-b a - b a -ho a - b -Shb(t~t){a\ ,2gau-to) {ashb{t - tf)~bchb(t - to)], ait-w {ashb{t - to)-bchb{t-t)]ll]. S [a] = Q ==lshbit-t,)-j-chb(t- ga ato) 22 = 22- e, =shb(t~ to) e-o). .Решение имеет вид lxit)] = 22 J [xito)]. Вернемся к общему случаю системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, где коэффициенты а являются функциями переменной t, конечными для всех значений интервала {t, t). Тогда вычисление G° [а (t)] будет весьма затруднительным. Мы получим приближенное решение, разделив промежуток (t, t) на отрезки, в которых коэффициенты а могут приблизительно рассматриваться как постоянные. Пусть {t, ,+1)-один из таких промежутков. Пользуясь предыдущими результатами, получим выражение которое легко может быть вычислено. Значение неизвестной функции x(t) будет тем ближе к истинному, чем меньше будут промежутки (f.. t.
|