Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

цию j ( )dt. Имеем

y = yc-\-Qo-y-

Подставляя это значение у в правую часть уравнения, последовательно получаем:

У = Уо+Q (Уо+Q (Уо+)

У = Уо + УоСк + УоО Са + Q<=Q Q y и т. д. В результате имеем

y = yo(l+Q + QaQa + QaQaQa+ ...).

Этот ряд быстро сходится.

Аналогично поступим с матричным уравнением

Начальные условия: [лг] = [л: (о)] в момент времени t = tQ.

Если обозначить через Q операцию интегрирования J( )dt, то

Q[a]=[Qa].

4.1.42. Решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим следующую систему, к которой всегда можно привести любую линейную систему первого порядка:

- = а2Л + 22-2+ +Чп>п

= Л + а 2Л;2-Ь + - -

Обозначив через D операцию дифференцирования, мы можем записать систему при помощи матричных обозначений:

Рассмотрим сначала случай, когда п=\. Пусть дано уравнение

и поставлены начальные условия: у - у при t ~ t. Тогда

У = У(,-\- j ii)ydt.

Это -интегральное уравнение может быть решено последовательным приближением (метод Пикара). Пусть Q - оператор, определяющий опера-



+ /( )dt f( )dt f ( )dt+ ... .

to to t I

Назовем его оператором интегрирования. Результат операции произве-

денной над матрицей [а], равен

( t t t t t t j

Q.*\a] = {[\\4- jVAdt+ f [a] dt f la]dt+ f [a] dt f [a] dt f [a] dt. . .\.

lo 0 0 *0 0 0 I

Мы можем достаточно долго продолжать вычисления, чтобы обеспечить любую наперед заданную точность.

Итак, решение системы имеет вид

lx(t)]Qla]lx(to)].

Заметим, что с помощью оператора интегрирования можно сразу жсл написать

s°V] = [ii.

Если дифференцировать 2° [а] по t, то находим Если элементы матрицы [а] - постоянные, то

Qtr. t it-to)

так как в этом случае

Q [а] Q [а] Q [а] . . . Q [а] =-(= Н .

п раз

4.1.43. Система дифференциальных уравнений первого порядка, с постоянными коэффициентами. В этом случае все элементы матрицы [а], не зависят от t и согласно предпоследней формуле решение

lxit)]=Q[a][x(to)]

моисет быть записано в виде n

lx(t)] = e-°lxito)].

Матрицу е можно легко вычислить при помощи формулы Бэкераг (см. п. 4.1.36).

Интегральное уравнение задачи имеет вид

[X {t)\ [х (г?о)] + J [а (01 [X {t)\ dt.

Решая это уравнение последовательным приближением, получим

{X {t)} = {[ 11 + Q [а] + Q [а] Q [а] + Q [а] Q [а] Q [а] + . . i} [X {t)].

Обозначим через * оператор, определенный следующим образом: It > t

[il + J( )dt + j{ )dtfi )dt-\-

{ to to to



Возьмем систему двух уравнений. Имеем

[а]:

Корни характеристического уравнения X - (а -- aj,) X -f- ajjOgg - oLjfhi = О -будут -

л, = а -I- = G - Z?. .Применение формулы Бэкера дает -

-Отсюда л-де

g{a+b)(t-tt) gi.a-bi{t-h)

gia+b) U-to) gla-b] it-te)

a-\-b a - b

a -ho a - b

-Shb(t~t){a\

,2gau-to) {ashb{t - tf)~bchb(t - to)],

ait-w

{ashb{t - to)-bchb{t-t)]ll].

S [a] =

Q ==lshbit-t,)-j-chb(t-

ga ato)

22 =

22-

e, =shb(t~ to) e-o).

.Решение имеет вид

lxit)] =

22 J

[xito)].

Вернемся к общему случаю системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, где коэффициенты а являются функциями переменной t, конечными для всех значений интервала {t, t). Тогда вычисление G° [а (t)] будет весьма затруднительным.

Мы получим приближенное решение, разделив промежуток (t, t) на отрезки, в которых коэффициенты а могут приблизительно рассматриваться как постоянные. Пусть {t, ,+1)-один из таких промежутков. Пользуясь предыдущими результатами, получим выражение

которое легко может быть вычислено. Значение неизвестной функции x(t) будет тем ближе к истинному, чем меньше будут промежутки (f.. t.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251