Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

4.1.44. Случай линейного дифференциального уравнения -го порядка. Пусть дано уравнение

Положив

dx

X - ЛГр - Xfjt dt

мы приходим к системе dx dx2

Отсюда следует

где р - матрица вида

dx dt

... Pj(Ox = 0.

d/Z}x .

~{x\=m{x].

0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 0

Это-частный случай задачи, рассмотренной в п. 4.1.43.

Пример. Следуя Келлеру, применим этот метод к решению уравнения

dx

dt 1-2 at ~ l - t

x = 0

при следующих начальных условиях: х(0)== - у, - О-

Положим

dxi ,

Х-Xj, -Х

Имеем систему

dx,

I 2 -1 ~r I 2 -г-

или в матричных обозначениях

Г О

1х] = [а][х].

ll-t 1-2 J

Возьмем промежуток 0<if<0,l. Будем в нем считать элементы си и постоянными и равными их среднему значению в этом промежутке:

ол 0,1

- 6 Г dt 2 Г tdt ,

Тогда в этом промежутке матрица [а] заменится на

0 1

-6.015 0.1



Решение уравнения [х] == [а,] [х] будет [х] = е0.1К![х(о)]. Корни характеристического уравнения для [а,] равны 0,05 + 2,45/. Отсюда -xi(i)-

. 2(1),

0,005 f

= +4g-1 (2,45 cos 0.245 - 0,05 sin 0,245) [ 1 ] +

+ sin 0,245

- 6,015 0,1

(д:Л=о.1 = -0,48, () =0,30. Для промежутка 0,1<;<;0,2 таким же точно образом находим

и постепенно составляем следующую таблицу:

. 0 ,

-0,50

-0,48.

-0,43

-0.34

-0,23

-0,11

0,00

0,30

0,59

0,86

1,08

1,21

Предложенное уравнение легко может быть решено непосредственно. Находим

Естественно, что подобные уравнения не следует решать матричным методом, который имеет смысл применять лишь в случае, когда прямое интегрирование невозможно.

4.2. ПРИ]МЕНЕНИЕ ]МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ИЗУЧЕНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

4.2.1. Определение. По определению четырехполюсник представляет собой электрическую цепь, в которой различают два входных и два выходных зажима (рис. 4.5). Будем пред-

h 4?

Рис. 4.5.

полагать, что эта цепь содержит только сопротивления, индуктивности, емкости, электродвигатели с одинаковой угловой частотой ш или усилители при непременном условии работы в линейном режиме. Пусть ij, е 1, 2 - мгновенные токи и напряжения соответственно на входе и на выходе цепи.

Мы будем рассматривать только установившиеся режимы четырехполюсников при синусоидальных токах и напряжениях. Тогда



=22 -=12

I 1 - 02, ajij

(17)

Можно решить систему (16) относительно других пар переменных, например относительно Е2, 4 как функций fj,

Будем считать, что (Е f,), (Е2, /2) - составляющие некоторого обобщенного вектора: вектора входного тока - напряжения (обозначим его через [2li]) и соответственно вектора выходного тока - напряжения (обозначим его [U2\)- Векторы [U,] и [U2] связаны соотношением

Ш = и]Ш.

Матрицу [7] назовем характеристической матрицей четырехполюсника. Она получается из коэффициентов системы (16), решенной относительно £2. /г- Предполагая, что а,2 = имеем

12 12

2- 1 . I-

(18)

Мы можем также с помощью системы (16) вычислить другую пару переменных £j, /2 как функции /j, £2- связи с этим рассмотрим два вектора [Tj] и \72 составляющие которых соответственно равны Е /2 и /j, Е2. Тогда

[Т,] = т1Т2]. ir2\ = lg][T,l

где Ig] и [h] - две новые матрицы, обратные друг другу. Было бы удобно иметь возможность представить каждую из матриц [а], [Z], [7]. [h], [g] как

/j, E, /2, Е2 представляют собой комплексные амплитуды тока и напряжения на входе и выходе четырехполюсника.

Эти четыре величины не являются независимыми. Между ними существуют два линейных соотношения:

= + а,2£2.

/2 = 211 +222-

/j, I2 И Е, Е2 можно рассматривать как составляющие некоторого вектора в двумерном комплексном пространстве. Сделаем предположение, что оно отнесено к двум прямоугольным осям. Соотношения (16) в матричном обозначении запишутся в виде

[/]=[а][£].

Назовем [а] матрицей полной проводимости четырехполюсника. Будем считать, что матрица [а] невырожденная. Тогда можно решить систему (16) относительно Е и £2. При этом получаем новую систему

\E] = laГ[].

Матрицу [Z] = [а]- назовем матрицей полного сопротивления или импеданса четырехполюсника. Имеем



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251