Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу 4.1.44. Случай линейного дифференциального уравнения -го порядка. Пусть дано уравнение Положив dx X - ЛГр - Xfjt dt мы приходим к системе dx dx2 Отсюда следует где р - матрица вида dx dt ... Pj(Ox = 0. d/Z}x . ~{x\=m{x]. 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 0 Это-частный случай задачи, рассмотренной в п. 4.1.43. Пример. Следуя Келлеру, применим этот метод к решению уравнения dx dt 1-2 at ~ l - t x = 0 при следующих начальных условиях: х(0)== - у, - О- Положим dxi , Х-Xj, -Х Имеем систему dx, I 2 -1 ~r I 2 -г- или в матричных обозначениях Г О 1х] = [а][х]. ll-t 1-2 J Возьмем промежуток 0<if<0,l. Будем в нем считать элементы си и постоянными и равными их среднему значению в этом промежутке: ол 0,1 - 6 Г dt 2 Г tdt , Тогда в этом промежутке матрица [а] заменится на 0 1 -6.015 0.1 Решение уравнения [х] == [а,] [х] будет [х] = е0.1К![х(о)]. Корни характеристического уравнения для [а,] равны 0,05 + 2,45/. Отсюда -xi(i)- . 2(1), 0,005 f = +4g-1 (2,45 cos 0.245 - 0,05 sin 0,245) [ 1 ] + + sin 0,245 - 6,015 0,1 (д:Л=о.1 = -0,48, () =0,30. Для промежутка 0,1<;<;0,2 таким же точно образом находим и постепенно составляем следующую таблицу:
Предложенное уравнение легко может быть решено непосредственно. Находим Естественно, что подобные уравнения не следует решать матричным методом, который имеет смысл применять лишь в случае, когда прямое интегрирование невозможно. 4.2. ПРИ]МЕНЕНИЕ ]МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ИЗУЧЕНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ 4.2.1. Определение. По определению четырехполюсник представляет собой электрическую цепь, в которой различают два входных и два выходных зажима (рис. 4.5). Будем пред- h 4? Рис. 4.5. полагать, что эта цепь содержит только сопротивления, индуктивности, емкости, электродвигатели с одинаковой угловой частотой ш или усилители при непременном условии работы в линейном режиме. Пусть ij, е 1, 2 - мгновенные токи и напряжения соответственно на входе и на выходе цепи. Мы будем рассматривать только установившиеся режимы четырехполюсников при синусоидальных токах и напряжениях. Тогда =22 -=12 I 1 - 02, ajij (17) Можно решить систему (16) относительно других пар переменных, например относительно Е2, 4 как функций fj, Будем считать, что (Е f,), (Е2, /2) - составляющие некоторого обобщенного вектора: вектора входного тока - напряжения (обозначим его через [2li]) и соответственно вектора выходного тока - напряжения (обозначим его [U2\)- Векторы [U,] и [U2] связаны соотношением Ш = и]Ш. Матрицу [7] назовем характеристической матрицей четырехполюсника. Она получается из коэффициентов системы (16), решенной относительно £2. /г- Предполагая, что а,2 = имеем 12 12 2- 1 . I- (18) Мы можем также с помощью системы (16) вычислить другую пару переменных £j, /2 как функции /j, £2- связи с этим рассмотрим два вектора [Tj] и \72 составляющие которых соответственно равны Е /2 и /j, Е2. Тогда [Т,] = т1Т2]. ir2\ = lg][T,l где Ig] и [h] - две новые матрицы, обратные друг другу. Было бы удобно иметь возможность представить каждую из матриц [а], [Z], [7]. [h], [g] как /j, E, /2, Е2 представляют собой комплексные амплитуды тока и напряжения на входе и выходе четырехполюсника. Эти четыре величины не являются независимыми. Между ними существуют два линейных соотношения: = + а,2£2. /2 = 211 +222- /j, I2 И Е, Е2 можно рассматривать как составляющие некоторого вектора в двумерном комплексном пространстве. Сделаем предположение, что оно отнесено к двум прямоугольным осям. Соотношения (16) в матричном обозначении запишутся в виде [/]=[а][£]. Назовем [а] матрицей полной проводимости четырехполюсника. Будем считать, что матрица [а] невырожденная. Тогда можно решить систему (16) относительно Е и £2. При этом получаем новую систему \E] = laГ[]. Матрицу [Z] = [а]- назовем матрицей полного сопротивления или импеданса четырехполюсника. Имеем
|