венным направлениям Aj и н.а составляющие Ох, и Oxg. Можно рассматривать Ох, и как некоторые гипотетические векторы тока - напряжения. При прохождении по цепи четырехполюсников произойдет сокращение длин их модулей: первого в , второго в = X раз. В результате

эти два сокращенных вектора будут представлять собой разложение полного вектора [U ] после прохождения по цепи.

Все сказанное сводится к преобразованию координат, легко осуществимому с помощью матриц.

Матрица, дающая возможность перейти от пространства I, Е к пространству Aj, Ag, равна

sin9i sincp2

COSCpj COScpg

Преобразование вектора {dt!,] в вектор [U] происходит в пространстве Aj, с помощью матрицы

Х/ о

(ср2 < 0).

17] -=

О X?

Матрица, позволяющая вернуться к пространству Л Е, равна [Q]

[9]- = .

cos -sin ср2

- costpj sincp.

sin (¥1 - Cfj)

Следовательно, матрица полного преобразования будет

[Qli7] [Q]-\

т. е.

Sin(<f, - <f2)

X sin cpi cos cp2 - X sin cp2 cos cpj - sin cpj sin cpg (X - X )

{} - X ) cos cpj cos 92 - X cos cpi sin 92 + X cos92 sin<f,}

Разделив числитель и знаменатель на cos9iCoscp2 и заменив tgcpj на Cj,

tg92 на С2. Х на е и 1 -- на е- , получаем . .

Cie r - С2е- - 2i:,i sh пГ 2shrer Ci- r (;gnr

что представляет собой матрицу преобразования

=1 2

Если четырехполюсники симметричны, что случается довольно часто, то формулы существенно упрощаются:

£, = ch геГ + С/ sh геГ,

sh /гГ+/ сЬяГ.

При бесконечном возрастании числа элементов цепи, когда размеры их становятся бесконечно малыми по сравнению с длиной волны, мы получаем

ЛИНИЮ передачи. Она определяется повторным (волновым) сопротивлением С и коэффициентом распространения k (рис. 4.30). Если через L, R. С, О

Рис. 4.30.

обозначить соответственно индуктивность, активное сопротивление, емкость, проводимость изоляции линии на единицу длины, а через I длину линии, то (см. п. 8.4.10)

k = YiR + >L) (О + УшС).

Следовательно,

/BX = -ShA/+4 ,Chft/.

Характеристическая матрица такого четырехполюсника равна

chkl -K.shkf

[(1 =

sh kl

chkl

4.2.19. Полоса пропускания четырехполюсника. Предположим, что четырехполюсник замкнут на повторное сопротивление. Мы знаем, что это является необходимым условием распространения волны через фильтр без искажения. Для передачи сигнала без затухания нужно, чтобы модуль X для данной частоты был равен 1. При этом оба корня и Xg являются комплексными и сопряженными. Следовательно, их сумма вещественна и заключена между -2 и +2. Дей-

7-ЛЛ/WWV-?-WWW\/-

ствительно, два сопряженных комплексных числа с модулем 1 могут быть написаны в виде

cos ср-- у 5Шф,

coscp - у sin ср.

Рис. 4.31.

Сумма их равна 2 coscp и заключена между -2 и -j-2. Сумма Х,--Х2 равна Тц + Тгг- Следовательно, частоты внутри полосы пропускания определяются неравенством

-2<Тп + Т22<2-

Пример. Рассмотрим симметричный Т-образный фильтр (рис. 4.31). Мы уже получили (п. 4.2.12)

Поэтому

Tll = T22=l-+--

Т Ч-Т22=2 + 2

-1<1+-§<1 или 2<ф-<0.

Следовательно, неравенство, определяющее полосу пропускания, будет

Дана схема (рис. 4.32): Отсюда

1-ffl2Z.C

\ - .sfiLC

j<s>C

0 <

<2.

(1 - 2Z.C)2

Из этого мы делаем заключение, что полоса пропускания находится Вне интервала частот

tLC У LC

Y2LC

Рис. 4.32.

Замечание. В предыдущем расчете предполагается, что четырехполюсник замкнут на свое повторное сопротивление. Но чаще всего повторное сопротивление само изменяется вместе с частотой. Фильтры, 2- изготовляемые на практике, в большинстве случаев замкнуты на

сопротивление, которое можно отождествлять с повторным лишь в очень узкой области изменений ш.

4.2.20. Расчет свободных колебаний цепи.

Вычисление частот. Пусть дана цепь. Сопротивление контура i этой цепи обозначим Z. Сопротивление связи контуров обозначим через Z (см. пп. 1.2,8 и 5.4.1).

Предположим, что электродвижущая сила отсутствует. Тогда

Z /i+Zi2/2+ +Zi / -0, .

Положим, что

2 1Л + 2/2+ -

rz . .. Z

[ZJ:

lZ ,

... Z J

+ z / = o.

и [/] =

(32)

Система (32) в матричной форме запишется так:

[Z][/] = [0].

Сопротивление Z-j имеет вид

-lb.

Предположим, что сопротивление Z, - чисто реактивное, т. е. = 0. Пусть

rii, ... L