Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Тогда матричное уравнение, дающее частоты собственных колебаний цепи ш, будет иметь вид [/] = [0] Г j co2[L] или после умножения на [i] I 0)2 [1 ] [/.]-> [-1-][/] = [0]. Это матричное обобщение известной формулы Положим 2= [а, = [Ж]., Тогда система (32) будет {[а[1]-[Ж1}1/] = [05. Определитель первой матрицы должен быть равен нулю: [а[11-{Ж] = 0. Это означает, что величины [а = ш2 представляют собой собственные значения матрицы \М\. Уравнение (33) может быть очень высокого порядка. В таком случае естественно пользоваться методом решения, изложенным в п. 4.1.39. Этот метод дает последовательные значения корней, начиная с наибольшего. Отсюда следует, что вычисление самых низких частот, отягощенное всеми ошибками, сделанными при вычислении предыдущих частот, может привести к недостаточно точному результату. Во избежание этого достаточно умножить исходное матричное уравнение не на {L\ а на -1 Тогда Это показывает, что = v- собственное значение матрицы Г1 .-1 \L\. Матричное решение характеристического уравнения для [Л] начнется с наибольшего значения v, т. е. с самой низкой частоты. Вычисление амплитуд. Амплитуды токов, соответствующих частоте (u2 = (j.j в различных контурах, можно вычислить, решая однородную систему- . {Ш]-[а,[1]}[/] = [0]. (34) Она дает ведичины, пропорциональные искомым амплитудам, иначе говоря, координаты собственного направления, соответствующего {Aj. Применение; способа, изложенного в п. 4.1.39 при отыскании собственного значения наибольшего модуля, приводит нас к вычислению приближенного значения предела для [Ж] [rf]. Известно!), что такой предел представляет собой ) См. замечание на стр. 202. собственное направление, соответствующее собственному значению наибольшего модуля. Мы получим, таким образом, величины, пропорциональные /j, /2...../ - Приведем пример Л. Пайпса. Даны два колебательных контура, соединенные третьим (рис. 4.33) при следующих численных данных: С = С22=Сзз10- ф. Z,j3 -Lgj : С 21 C3I- 1.4- Сод- Ся9- О, 5,1,1 гн, /-22 = гк, /-33 =-7 гк. -32 Имеем 1/-] = Выберем вектор J 6 2 5 И. Г j = 106 о о и = 10б[1], 2 2 L2 [УИ]= 106 2 2 L2 2 5 5 2 5 11J Отыщем собственные значения следующей матрицы: 2 2 2 2 L2 5 11 Достаточ-но умножить затем найденные значения на 10, чтобы получить собственные значения [М\. Вычисляем последовательно: [Ж]1 ]-=18 - 4 - {М]{и]=\Ъ- 15 15 1 [УИр[ ]=18- 15- 14,533 \Mf{u]= 18 15 14,533 14,4495 0,256881 0,584762 1 0,255238 0,584762 1 Отсюда fijz= 14,4 106. 0,1 = 3,8-103. Амплитуды будут пропорциональны 0,25; 0,58 и 1. Далее, легко определить и (ад, а по ним и шд и соответствующие им амплитуды. 4.2.21. Контуры с периодически меняющимися параметрами i). Рассмотрим свободные колебания контура, у которого активное сопротивление, индуктивность и емкость периодически меняются во времени. Примерами могут служить генератор переменного тока, индуктивность которого является синусоидальной функцией времени, телефонные наушники, угольный микро- фон, конденсаторный микрофон, периодически изменяющие параметры контуров, в которые они входят как составные элементы. Рассмотрим контур, изображенный на рис. 4.34, и положим = /-(О. . г-ал гихг о о о Z о .о Рис. 4.34. 5 = 7 = 50+(0. где r(t), l(t), s(t) - переменные члены, а Rq, Lq, Sq - постоянные. Кроме того, положим, что постоянные члены больше соответствующих амплитуд переменных членов, т. е. \s\<So, МКо. \r\<Ro. Дифференциальное уравнение свободных колебаний цепи будет (35) если принять за функцию заряд конденсатора Q. Задача легко решается, если известны два предельных условия. Положим, что Тогда уравнение (35) принимает вид А (t) di Положим d 1 dA Функции в и A периодичны. Следовательно, а (О также периодична, и мы получим дифференциальное уравнение + f2 + a(0]y =0. (36) которое называется, уравнением Хилла. О См. [111.
|