Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Тогда матричное уравнение, дающее частоты собственных колебаний цепи ш, будет иметь вид

[/] = [0]

Г j

co2[L] или после умножения на [i]

I 0)2 [1 ] [/.]-> [-1-][/] = [0].

Это матричное обобщение известной формулы

Положим

2= [а,

= [Ж].,

Тогда система (32) будет

{[а[1]-[Ж1}1/] = [05.

Определитель первой матрицы должен быть равен нулю:

[а[11-{Ж] = 0.

Это означает, что величины [а = ш2 представляют собой собственные значения матрицы \М\.

Уравнение (33) может быть очень высокого порядка. В таком случае естественно пользоваться методом решения, изложенным в п. 4.1.39. Этот метод дает последовательные значения корней, начиная с наибольшего. Отсюда следует, что вычисление самых низких частот, отягощенное всеми ошибками, сделанными при вычислении предыдущих частот, может привести к недостаточно точному результату. Во избежание этого достаточно умножить

исходное матричное уравнение не


на {L\

а на -1

Тогда

Это показывает, что = v- собственное значение матрицы

Г1 .-1

\L\.

Матричное решение характеристического уравнения для [Л] начнется с наибольшего значения v, т. е. с самой низкой частоты.

Вычисление амплитуд. Амплитуды токов, соответствующих частоте (u2 = (j.j в различных контурах, можно вычислить, решая однородную систему-

. {Ш]-[а,[1]}[/] = [0]. (34)

Она дает ведичины, пропорциональные искомым амплитудам, иначе говоря, координаты собственного направления, соответствующего {Aj. Применение; способа, изложенного в п. 4.1.39 при отыскании собственного значения наибольшего модуля, приводит нас к вычислению приближенного значения предела для [Ж] [rf]. Известно!), что такой предел представляет собой

) См. замечание на стр. 202.



собственное направление, соответствующее собственному значению наибольшего модуля. Мы получим, таким образом, величины, пропорциональные /j, /2...../ - Приведем пример Л. Пайпса. Даны два колебательных контура, соединенные третьим (рис. 4.33) при следующих численных данных:

С = С22=Сзз10- ф.

Z,j3 -Lgj :

С

21

C3I- 1.4- Сод- Ся9- О,

5,1,1

гн, /-22 = гк, /-33 =-7 гк.

-32

Имеем

1/-] =

Выберем вектор

J 6

2 5 И.

Г j

= 106

о о и

= 10б[1],

2 2 L2

[УИ]= 106

2 2 L2

2 5 5

2 5 11J

Отыщем собственные значения следующей матрицы:

2 2 2

2 L2

5 11

Достаточ-но умножить затем найденные значения на 10, чтобы получить собственные значения [М\.

Вычисляем последовательно:

[Ж]1 ]-=18

- 4 -

{М]{и]=\Ъ- 15

15 1

[УИр[ ]=18- 15- 14,533

\Mf{u]= 18 15 14,533 14,4495

0,256881 0,584762 1

0,255238 0,584762 1

Отсюда

fijz= 14,4 106. 0,1 = 3,8-103.



Амплитуды будут пропорциональны 0,25; 0,58 и 1.

Далее, легко определить и (ад, а по ним и шд и соответствующие им амплитуды.

4.2.21. Контуры с периодически меняющимися параметрами i). Рассмотрим свободные колебания контура, у которого активное сопротивление, индуктивность и емкость периодически меняются во времени. Примерами могут служить генератор переменного тока, индуктивность которого является синусоидальной функцией времени, телефонные наушники, угольный микро-

фон, конденсаторный микрофон, периодически изменяющие параметры контуров, в которые они входят как составные элементы.

Рассмотрим контур, изображенный на рис. 4.34, и положим

= /-(О. .

г-ал гихг

о о о Z о .о

Рис. 4.34.

5 = 7 = 50+(0.

где r(t), l(t), s(t) - переменные члены, а Rq, Lq, Sq - постоянные. Кроме того, положим, что постоянные члены больше соответствующих амплитуд переменных членов, т. е.

\s\<So, МКо. \r\<Ro.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний цепи будет

(35)

если принять за функцию заряд конденсатора Q.

Задача легко решается, если известны два предельных условия. Положим, что

Тогда уравнение (35) принимает вид

А (t) di

Положим

d 1 dA

Функции в и A периодичны. Следовательно, а (О также периодична, и мы получим дифференциальное уравнение

+ f2 + a(0]y =0.

(36)

которое называется, уравнением Хилла.

О См. [111.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251