Если gi(t) и g2(t) - два линейно независимых решения, то общее решение представляет собой их линейную комбинацию и может быть написано в таком виде:

y(t) = C,g,{t)-C2g2{t). . (37)

где С, и Cg - две произвольные постоянные.

Найдем соотношение между двумя значениями функции y(t), разделенными периодом Т функции а(). Положим

n(t)=y(t+T)

и будем искать соотношение между ri(t) и y(t). Положим

Yj(0 = X(Oy(0. ri=Xy + \y, rf = \ y + 2Xy-\-Xy .

Воспользовавшись (36), получаем =

Х у+2ХУ = 0.

откуда

Поэтому

Это равенство должно быть справедливо в любой момент времени t. Необходимо, следовательно, чтобы

Х = Х = 0.

Х=: const. -

Возьмем произвольный момент времени tQ. Тогда получим последовательно

y(h+r) = \y{to), y{t,+ 2T) = ly(t,+ T).

Отсюда

y(to + nT) = Xy { ч (й 1)Г}. у(оН-иГ) = Х у(о).

Величина модуля X позволит определить устойчивость решения. Положим

y = Xi (О.

= -2(0.

Имеем

Если

[0(01 =

x,it) = C,g,{t)C2g2(t),

X2it) = C,-C

(38)

1(0 d

[x{t)\ =

x,(t)

U2(0J

[C] =

TO система (38) может быть записана в виде

[x{t)\ = {G(t)\[C\.

Матрица [С] из постоянных С, и определяется начальными 5гсловиями;

{x{f)\ = [G{t)\{C\.

- X-i -Хп

--Х2=- {2+a(0} x,-F{t)x,.

Отсюда получаем новую форму для системы (38): . .

[x(t)] = lG(t)]lG(to)]-[x(to)]. .

Придавая величине t значение tQ-\-T, находим

lx(to-\-n] = l[x(to)] = lG{to+T)]lG(to)]-hx(to)].

Это равенство показывает, что . X - собственное значение матрицы {Ж]=[0(о+Г)][0(о)]-\

Производная определителя матрицы lG(t)] равна

Это выражение равно нулю в силу уравнения Хилла, которому удовлетворяют gx{t) и g-jCO- Следовательно, определитель матрицы [G{t)\ независим от t.

Определитель [О(0-(-Г)] равен величине, обратной определителю [О(о)]~*. Поэтому определитель произведения, т. е. определитель [М], равен единице. Эта величина равна также произведению собственных значений матрицы [М]. Мы можем, следовательно, считать, что

Корни Xj и Xg, произведение которых равно единице, могут быть написаны в таком виде:

X=k+ Yk-l,

где k вещественно.

Если I й I > 1, то показатель степени (аГ веществен и. равен arch k. В этом случае решение неустойчиво, потому что одан из корней Х, или Xg по абсолютному значению больше единицы. Если й<1, то показатель степени (аГ-чисто мнимая величина, равная yarccos. Если arccos й равен

рациональной дроби -, то решение будет периодичным с периодом sT, т. е.

устойчивым. Если arccos не равен рациональной дроби, то решение непериодично, но продолжает оставаться конечным, а следовательно, устойчивым. В общем если диагональные члены матрицы [М] будут УИ,] и Ж22. то достаточно сравнить абсолютную величину УИ2] + УИ22 с 2.

Практическое вычисление устойчивости этих решений связано с очень большими трудностями. Поэтому рассмотрим приближенный метод вычисления матрицы

lG(to+T)]lG{to)r = lM]. Эта матрица определяется из уравнения

[x(t,-T)] = [M][x(to)]. Будем исходить из уравнения Хилла

при начальных условиях, определенных для у и . Если ввести обозначения у = jCj, = Х2, то уравнение Хилла сводится к системе

которая в матричной форме выглядит так:

[x{t)] =

О Г lF{t) Oj

Предположим, что а() примерно постоянна в промежутке времени Д/ = - Тогда требуется решить дифференциальное уравнение

О Г

которое является уравнением с постоянными коэффициентами. Такая задача

~0 I

уже решалась в п. 4.1.43. Характеристическое уравнение матрицы

будет

г -1

= 0. Корни его равны ± ()= ±Ь. Следовательно,

lx(t,)] =

lx(t, ,)}.

Итак, исходя из [xito)], мы постепенно приближаемся к [л;(о+Г)], т.е. к равенству вида

lxito+T)] = [M]lx(to)].

Теперь остается только сравнить с единицей корни характеристического уравнения матрицы [М].

4.2.22. Матрицы в квантовой механике. Рассмотрим периодическое движение электрона, положение которого зависит от одной только координаты д. В классической теории электромагнитного поля мы разлагаем функцию времени q{t) в ряд Фурье:

(39)

р=-с

Эта формула выявляет частоты электромагнитных волн р\, которые может излучать электрон. Чтобы учесть сдвиг фаз каждой волны, амплитуду в формуле (39) нужно считать комплексным числом. Так как координата q вещественна, то и а р должны быть сопряженными комплексными величинами:

(40)

Интенсивность каждой гармоники дается квадратом амплитуды или произведением

В квантовой механике механизм излучения электрона трактуется иначе. Испускание частоты v происходит при переходе электрона с одной устойчивой траектории на другую, или, иначе, с одного энергетического уровня на другой энергетический уровень W . Частота излучения дается соотношением

W-Vn = fi. (42)

где h - постоянная Планка.