Если > происходит испускание; если < - поглощение. . Поэтому частоты v оказываются здесь зависящими от двух индексов т и п. Обозначим их в виде v . Это означает, что непрерывную функцию q(t), которую мы ранее писали в виде разложения в ряд Фурье, мы должны заменить прямоугольной таблицей членов вида

Яшп(43) Такая точка зрения, высказанная впервые Гейзенбергом, игнорирует всякие представления о механизме атомных явлений и признает только величины, полученные непосредственно из эксперимента, т. е. интенсивность спектральных линий и их частоту. Эти величины, зависящие от двух индексов, можно разместить в виде прямоугольной таблицы

9и 9l2

Табличная форма записи в квантовой механике аналогична разложению в ряд Фурье в максвелловской теории электромагнетизма.

Совершенно очевидно, что, исходя из формулы (42), мы получим

(44)

Это означает, что при переходе из состояния т в состояние п испускается та же частота, что и поглощается при обратном переходе, и что если атом находится в устойчивом стационарном состоянии, он не излучает.

Величина - комплексная. Ее модуль является мерой вероятности перехода из состояния т в состояние п. Квадрат модуля определяет интенсивность линии испускания. Так как возможен переход и в обратном направлении, то должно иметь место

-тп i - i -пт i-

Это убеждает нас, что, так же как и в случае ряда Фурье, и -

комплексные сопряженные величины:

(45)

Из (45) и (44) мы получаем также

Для умножения двух таблиц [д] и [р] введено правило

совпадающее с правилом умножения матриц. Оно дано так, чтобы умножение обеих таблиц не вводило в рассмотрение новых частот. Действительно, рассмотрим общий член каждой таблицы:

Ятк-

Рип = Ь,/-ы\

Следовательно,

mk ~Ь kn тп-

Таким образом, правило умножения не вводит частот, которые не содержались бы раньше в д и р.

Легко заметить, что рассмотренные таблицы подчиняются правилам матричного исчисления, а в силу соотношения д = это эрмитовы матрицы.

Матрица, полученная из матрицы д дифференцированием каждого члена по времени, - это новая матрица р. Гейзенберг принял за отправную точку квантовой механики предположение, что выражение вида рд - др - комму-

татор матриц р и д - равно .

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV

1. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. 1, Физ.матгиз, 1962.

2. Ф а д д е е в Д. К., Ф а д д е е в а В. Н., Вычислительные .методы линейной алгебры, Физматгиз, 1963.

3. Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1956.

4. Г а н т м а X е р Ф. Р., Теория .матриц, Гостехиздат, 1954.

5. Ф р е 3 е р Р. А., Д у н к а н В. И. и К о л л а р А. Р., Теория .матриц и ее приложение, ЙЛ, 1950.

6. Б е к к е н б а X Э. Ф. (ред.), Современная математика для инженеров, гл. 12, И.П, 1958.

7. Ландау Л. Д., Л ившиц Е. М., Квантовая .механика, ч. 1, Физ.матгиз, 1963.

8. Duncan W, J., Collar А. R., А method for the solution of oscillation problems by matrices, Phil. Mag., № 5, 1934.

9. F e I d t к e 11 e r R., Einfuhrung in die Vierpoltheorie, Leipzig.

10. Ho Witt N., Equivalent electrical networks Proc. IRE, N2 6, 1932.

11. Pipes L. A., Matrices in engineering. Electrical Engineering, sept., 1937.

12. Pipes L. A., Matrix solution of polynomial equations., J. of Franklin Inst., № 4, 1938.

Но

ГЛАВА V

ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ 5.1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА

Аффинное векторное пространство. Метрическое пространство

5.1.1. Определения. Рассмотрим г-мерное пространство. В этом случае система координат состоит из г координатных осей. На каждой из них мы определим свою единицу длины, которая будет служить для измерения координат вдоль этой оси. Единичные отрезки осей, имеющие положительное направление, принято называть единичными векторами или ортами. Обозначим их через е, Cj, . - -. е.

Рассмотрим вектор V. Пусть l/j, V, - его компоненты по осям

1, 2, г. Компоненту вектора по оси можно получить, проектируя вектор

на эту ось параллельно гиперплоскости, образованной другими осями. Вектор V будет, следовательно, представлять собой геометрическую сумму

Символ 2 означает, что сумма состоит из всех членов, которые можно

получить, если придавать k все возможные значения от 1 до г.

Если в рассматриваемом г-мерном пространстве не предполагается возможным сравнение длин , ! - \г\ будем называть его аффинным векторным пространством. В противном случае, т. е. если возможно найти эталон длины, сравнимый со всеми длинами \ е-у\, lg], будем

называть пространство метрическим.

Аффинное векторное пространство позволяет изучать общие свойства фигур, не изменяющиеся при произвольном преобразовании системы координат. Однако оно ограничивает исследование лишь теми свойствами фигур, при изучении которых не приходится прибегать к понятию расстояния, а следовательно, и к понятию угла. Пока эти понятия нам не потребуются, мы будем рассматривать аффинное пространство, но, как только возникнет необходимость ввести понятие расстояния, мы будем переходить к метрическому пространству. При такой постановке мы сможем формулировать теоремы с наибольшей общностью.

На первый взгляд рассмотрение пространств, в которых понятие расстояния между двумя точками не имеет смысла, может показаться странным. Между тем такими пространствами часто пользуются. Классическим примером может служить трехмерное пространство, в котором по координатным осям откладываются давление, удельный объем и температура. Очевидно, что не существует общей единицы измерения для давлений, объемов и температур; следовательно, понятие расстояния между двумя точками в таком пространстве