совершенно бессмысленно. Точно так же обстоит дело, например, с кривыми, которые чертит регистрирующий термометр или барометр.

5.1.2. Преобразование координат. Пусть е е - единичные

векторы старой системы координат, а Е Е, Е - единичные век-

торы новой системы. - . . . , .

Если обозначить через проекцию единичного вектора Е на единичный вектор е, полученную при проектировании параллельно гиперплоскости, образованной всеми остальными осями старой системы, то получится г уравнений:

Таблица коэффициентов

есть матрица a линейного преобразования.

По предположению, старые единичные векторы линейно независимы. Это значит, что нельзя построить такую их линейную комбинацию 2 Pkk

В которой ХОТЯ бы один из коэффициентов был бы отличен от нуля. Если определитель, составленный из величин

отличен от нуля, то новые векторы будут также линейно независимы. Это значит, что нельзя построить линейную комбинацию 2 Ртт == О, в которой

ХОТЯ бы один из коэффициентов p был отличен от нуля. Другими словами, если векторы не находятся в одной гиперплоскости и если определитель Д отличен от нуля, то и векторы Е также не находятся в одной гиперплоскости.

Уравнения (1), которые можно написать сокращенно в виде

(т= 1, 2, ..., г).

дают нам новые единичные векторы Е как функции старых единичных векторов е,;.

Рассмотрим обратный случай, т. е. будем искать старые единичные векторы как функции новых. Эта задача сводится к решению системы (1)

= + РЯ, + .. - -Ь tE = 2 или, В сокращенном виде,

е.ЪГи. (=1- 2. .... г).

Матрица этого линейного преобразования равна a~i. Обший элемент матрицы р будет, следовательно, равен

Г/г

где - алгебраическое дополнение элемента определителя Д матрицы а. Рассмотрим сумму произведений

VI и ппг m

Эта сумма равна единице при k, равном J, и нулю при к, отличном от J. Действительно, произведение двух матриц и и = х есть единичная матрица. Элементы тР этой матрицы находятся на главной диагонали -

они равны единице. Элементы -аР не находятся на главной диагонали - они равны нулю. Пользуясь символом Кронекера, будем обозначать

> ml!

[1, если т = п. Напомним, что В, г= {

I О, если тФ п.

Если требуется найти коэффициенты а как функции коэффициентов р.

то, учитывая, что а=р \ получим

Где 5 - алгебраическое дополнение элемента определителя Д матрицы р.

Б. 1.3. Ковариантные и контравариантные векторы. Мы уже знаем формулы преобразования векторов:

Всякий вектор, который при преобразовании системы координат преобразуется согласно правилам преобразования единичных векторов, называется ковариантным. Индекс, означающий номер координатной оси, у соответствующих проекций ковариантного вектора помещают внизу: а .....cif

Пусть дан вектор, составляющие которого в старой системе будут а, .... а, а в новой системе - Л А, .... А. Если этот вектор

относительно е .... е. Найдя решение, полечим систему г уравнений вида

e, = tE,-\-fE, ...Л-Ш-Жт \ (2)

п к L I

Следовательно,

и наоборот,

xoLx .

Получились формулы, обратные формулам преобразования единичных векторов В случае метрического пространства и прямоугольной системы координат нет надобности различать ковариантные и контравариантные индексы, так как в этом случае а* = =

Б. 1.4. Определение тензора. Скалярная величина является тензором нулевой валентности и имеет только одну компоненту. Вектор является тензором первой валентности и имеет г компонент. Этот тензор может быть либо ковариантным - при этом его компоненты должны обозначаться через либо контравариантным - тогда его компоненты должны обозначаться через

Тензор второй валентности имеет компонент. Существует три типа тензоров второй валентности:

дважды ковариантный тензор, общая компонента которого может быть записана в виде t;

дважды контравариантный тензор, общая компонента которого может

быть записана в виде

смешанный тензор - один раз ковариантный, один раз контравариантный, - общая компонента которого может быть записана в виде tf.

Компоненты тензора второй валентности могут быть расположены в виде квадратной таблицы. Ниже мы увидим, что между тензором и матрицей имеется сущэственная разница. Часто для указания того, что элементы, входящие в таблицу, являются тензорными, таблицу заключают в круглые скобки:

или сокращенно {tf).

) Эти соотношения показывают, что матрица линейного преобразования равна матрице а преобразования координат, определенной в п. 4.1.21.

ковариантен, то формулы преобразования будут

Например, градиент скалярной функции будет ковариантным вектором.

Используемые на практике векторы обычно не следуют указанному правилу преобразования. Такие векторы называются контравариантными. Индекс у проекций вектора на оси координат в этом случае помешают вверху: л:, .....х.

Рассмотрим вектор, составляющие которого равны х, х.....х

и Х, Х , Х в старой и новой системах соответственно. Пользуясь

формулами преобразования единичных векторов, получим