образования, которые должны быть соответствующим образом выбраны из набора матриц:

а. а, p = d-i, р=а-1.

Описанные свойства тензоров по аналогии с химией позволяют называть порядок тензора валентностью.

5.1.6. Немой индекс. Отметим, что суммирование в формулах преобразования тензоров всегда происходит по индексу, который применяется дважды: один раз внизу и один раз вверху. Поэтому нет смысла ставить знак 2 суммы и отмечать под ним, по каким индексам производится суммирование. Такие индексы называются немыми.

Это упрощение записи ввел в тензорный анализ Эйнштейн. Например, для преобразования координат- вектора мы используем формулы

Можно, упрощая запись и подразумевая суммирование, написать Л = аа, где k - немой индекс; й = РЛ, где I - немой индекс.

Преобразование компонент тензора по формуле можно, подразумевая суммирование, записать в виде

, <?;i-;;=.f;...<;Pf,....p;;TV;A.

Здесь Zj, 1, j\, .... j\ - это т-\-п = р немых индексов. Приведен-

ный способ упрощения записи является классическим, и его можно встретить в большом количестве работ, но мы не будем им пользоваться.

5.1.7. Симметрия и антисимметрия. Рассмотрим случай тензоров второй валентности. Как мы видели, такие тензоры бывают трех видов: дважды контравариантные t, дважды ковариантные t и смешанные tf.

Остановимся сначала на тензорах первых двух видов. Они называются симметричными, если

t = t ИЛИ t = t ,

и антисимметричными, если

/ = -* или t = -t .

Симметричность или антисимметричность есть свойство тензора, которое не изменяется при преобразовании координат. Обозначим через е величину ±1. Согласно определению, мы имеем в этом случае для дважды контравариантного тензора

Пусть Т - его компонента после любого преобразования координат. Покажем, что будет также иметь место равенство

/ft ift

Аналогичными выкладками можно показать, что если ti = Bti, то

Г ml = гж-

Смешанный тензор / г не может быть симметричным или антисимметричным, потому что если бы это свойство имело место при каком-то частном выборе системы координат, то оно не сохранилось бы при преобразовании координат. Действительно, положим, что в некоторой системе координат

ti = Btk-

После преобразования координат получим

ik ik

Видим, что Г не равно еГ.

Полученные результаты легко обобщить на случай тензоров более высоких валентностей, симметричных или антисимметричных по двум индексам непременно одинаковой вариантности (т. е. оба индекса должны быть нижними или оба верхними). Их можно также легко обобщить на случай тензоров любой валентности, в которых условия симметричности или антисимметричности рассматриваются более чем для двух индексов обязательно одинаковой вариантности. Это обобщение очень просто по отношению к симметричности. Пусть дан тензор, г * , в котором условия симметричности рассматриваются по отношению к четырем контравариантным индексам а, р, 7, 8. Условие симметричности состоит в том, что

,Цр)Ы...

-тп ... --тп ...

если через р обозначить любую перестановку индексов а, р, -у.

Что касается антисимметричности, то здесь обобщение сложнее, так как при этом встает вопрос о знаках. Обозначим по-прежнему ± 1 через е. Условие антисимметричности состоит в том, что

.k(aflc)l .k(p)l...

i-mn... -mn ... >

где р по-прежнему означает любую перестановку индексов а, -у, 8.

Если перестановка р четная, т. е. если имеет место перехед от aByS к р путем четного числа перестановок букв (например, аВ - четная перестановка), то е будет равно +1.

Если перестановка р нечетная, т. е. если имеет место переход от а-уЗ к р путем нечетного числа перестановок букв (например, Ва-у - нечетная перестановка), то е будет равно -1.

Представляет интерес частный случай тензора порядка т, антисимметричного по отношению ко всем своим индексам, которые либо ковариантны, либо контравариантны. Простой расчет показывает, что число существенных (не совпадающих по абсолютной величине) компонент, отличных от нуля,

г\

от! (г - от)!

Действительно,

а\ а\ а\

2 г

а 0.% а

Следовательно, т = Ат.

Таким образом, перед нами величина только с одной существенной компонентой, но она тем не менее не является скаляром, так как после преобразования координат претерпевает изменение. Эта величина называется псевдоскаляром. В частном случае контравариантных индексов она называется скалярной емкостью.

Возьмем теперь также в трехмерном пространстве трижды ковариантный антисимметричный тензор третьей валентности

Повторяя предыдущие рассуждения и обозначив через Г величину компоненты Ci23> можно получить формулу преобразования координат

5.1.8. Псевдоскаляры. Скалярная плотность и скалярная емкость.

Для примера рассмотрим в трехмерном пространстве антисимметричный по

всем индексам трижды контравариантный тензор. Пусть t -его общая компонента. Подставив в выражение (г - т)1 т - ?), получим, что

число существенных, отличных от нуля компонент будет равно 1. Если через I т I обозначить общее абсолютное значение этих компонент, то они будут равны либо либо -т в зависимости от того, будут ли пере-

становки индексов четными или нечетными по отношению к начальной перестановке. Пусть, например, дана перестановка 123, т. е.

Как будет вести себя величина т после преобразования координат?

После преобразования тензор не перестает быть ни антисимметричным, ни трижды контравариантным. Значит, он также будет иметь только одну отличную от нуля существенную компоненту. Если обозначить буквами с чертой сверху компоненты тензора после преобразования координат, то

Найдем соотношение между тит. Применяем форму.яу преобразования координат для случая тройной кбнтравариантности:

Все элементы и , не равные нулю, имеют неодинаковые индексы, так как

Имеем t ~ei. Величина е будет равна либо -f-l- либо -1 в зависимости от того, будет ли Imn четной или нечетной перестановкой чисел 123. Поэтому

,123 Z ЗТ1тп -V 2 3

Imn Imn

Учитывая смысл знака е. заключаем, что сумма 2 aaa представляет

собой определитель