Здесь идет речь о комплексном пространстве, существенно отличающемся-от комплексной плоскости, о которой говорилось в начале этой главы. В данном случае комплексные числа откладываются по трем осям координат. Подробнее понятие о комплексном пространстве развивается в п. 4.1.29 и последующих.

Алгебраические дополнения

М12 (У ш) = - УшЖ,

откуда

Z ( D(,/o.)

1 Л1,2 (,/со) - y 7W

. Z,2 (,/ У ~ (у ) - D (у )

1.2.9. Комплексный вектор. Рассмотрим вектор а, синусоидально зависящий от времени. Его проекции на три оси прямоугольных координат равны

= ЛсозСшг + ср), = cos (ш + сру), = cos (ш + ср).

Амплитуды Aj, - Ay, А и фазы ср ср, ср не зависят от времени, а только от координат х, у, z.

Проекции fij, йу, вектора а являются синусоидальными скалярными величинами - вещественными частями комплексных чисел

/ К Ло/. Комплексные числа . i

можно рассматривать как координаты комплексного вектора Л, отнесенного-к комплексному пространству i).

Комплексный вектор Л*, сопряженный с вектором Л, имеет следующие проекции на оси координат:

Ле--Ч Аув-Ь,

Для векторов, имеющих синусоидальную зависимость от времени, комплексный вектор играет роль, аналогичную той, которую играют комплексные токи и напряжения для токов и напряжений, синусоидально зависящих от времени.

Вещественная часть вектора Ле - это вектор а, а мнимая его часть- вектор а, отстоящий по фазе на у от ац

< = cos (св + - у). у = cos [iut + Ту - -). а=А cos [tit + ср - --j.

Если разделить вещественные и мнимые части комплексного вектора Л,-то его можно представить в виде

Л = А + ]А2.

Очевидно,

а~ А- cos iut - А2 sin Ы.

Вектор а вращается в плоскости, определенной двумя вещественными векторами Л, и с угловой скоростью го. Конец вектора а описывает

эллипс, причем и Л2 - два его сопряженных по.аудиаметра. Векторы А- и А2 соответственно представляют собой положения, занимаемые вектором а в начальный момент времени и в момент / = - Г/4(Г= 27с/(в).

Преимущество использования комплексных векторов при расчетах с синусоидальными векторами заключается в том, что время t выпадает из вычислений, так же как это имело место с комплексными токами и напряжениями. Точно так же комплексные векторы удобно использовать при подстановке в линейные уравнения.

Возьмем для примера уравнение Максвелла:

rot =a£ + b.

Синусоидальным векторам Н и Е соответствуют комплексные векторы §f и ё. При этом уравнение Максвелла получит вид

Если ввести комплексную диэлектрическую постоянную то

rot М- = Уштё-

Следовательно, использование комплексных величин- упрощает расчеты с векторами, имеющими синусоидальную зависимость от времени, аналогично тому как оно упрощает расчеты с токами и напряжениями, синусоидально зависящими от времени.

Основные определения и векторные операции (скалярное и векторное

умножение, операции grad, div, ) легко обобщаются на комплексные

векторы.

1.3. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Если Р(х, у) и. Q(x, у) - функции вещественных переменных х и у, то комплексная величина

Р{х. y) + jQix, у)

по.аучит одно или несколько строго определенных значений для каждой пары величин х, у. Данное выражение рассматривается как функция комплексного переменного z = xJy и записывается в виде f(z). Отметим, что эта запись условна. В общем саучае она не означает, что функция / зависит от X к у только в комбинации х -j- Jy. Например, про выражение x-{-2jy говорят, что оно является функцией переменной z.

1.3.1. Непрерывность. Функция f(z) непрерывна при z=a, если всякому положительному сколь угодно малому числу е соответствует по г ложительное число tj такое, что неравенство \ z - а ) < т; имеет следствием

\f{z)~f{a)\<B.

1.3.2. Однозначные функции. Функция однозначна, если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение функции.

Например, функция к = z неоднозначна. Действительно, положим .г = ге , и - ре. Тогда

Если принять А = 0, 1, 2.....т-1, tq для одного значения z

получится т значений и.

1.3.3. Аналитическая функция. Производная однозначной функции (или одного из ее значений, если функция многозначна) определяется как предел

Дг->0

Если такой предел существует и не зависит от того, каким образом стремится к нулю, то говорят, что функция f(z) аналитическая.

Изучим подробнее условие независимости стремления Az к нулю <рис. 1.19). Пусть

f(z) = P(x, y) + JQ(x. у).

Дадим Z приращение Дг; тогда функция / получит приращение Д/. Можно написать

А/ AP+/AQ Az Ал: + j

Заменяя ДР и AQ их дифференциалами и переходя к пределу, по.аучим

df dz

. dQ

дР dQ

dx +./ dy

Рис. 1.19.

Для независимости этого предела от способа стремления b.z к нулю, т. е. от ориентировки малого отрезка dz = dx~\- j dy, нужно, чтобы это отношение не зависело от . Последнее обстоятельство имеет место, если

коэффициенты при dx и dy в числителе пропорциональны соответствующим коэффициентам в знаменателе, т. е.

, .dQ

дР dQ ду

1 /

Отсюда вытекают условия, которые называются условиями Коши - Римана:

dQ дР dQ

dP дх

dx

Эти условия необходимы для аналитичности функции. Они будут достаточными, если дополнительно потребовать непрерывность частных производных функций Р и Q *).

Дифференцируя полученные два уравнения и приравнивая смешанные производные, имеем

dP . dP

г = 0.

dQ , 60 .

i=0.

Следовательно, вещественная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Отметим, что последние условия недостаточны для аналитичности функции, так как не всякая пара решений уравнения Лапласа удовлетворяет условиям Коши - Римана.

*) Подробнее см. [1], стр. 72-75