V\g\ dxi [V 1 Qk]

Не следует забывать, что \g\-это абсолютное значение определителя (g).

Мы получили выражение для лапласиана в наиболее общей системе криволинейных координат.

Частный случай ортогональных криволинейных координат

Мы видели, что в случае ортогональных криволинейных координат можно связать тензорное исчисление с векторным и что определения компонент вектора неодинаковы. Поэтому если мы хотим использовать в векторных обозначениях различные дифференциальные операторы, то следует изменить соответствующим образом полученные выше формулы.

Обозначим через а компоненты, используемые в векторном исчислении, а через А - компоненты того же вектора, применяемые в тензорном исчислении. Мы видели, что эти различные компоненты связаны соотношением

.ЛлLA YG7m = AE = rn . (6)

VG,nm Е

, . Покажем, как изменятся формулы для дифференциальных операторов применительно к компонентам вектора, используемым в векторном исчислении.

5.3.5. Градиент. Как уже было отмечено, составляющие вектора градиента равны

Следовательно, согласно формулам (6), ......

5.3.6. Ротор. Аналогичным образом получим для компонент ротора

. дА dAi

С/;ъ -

rot,.o-=>, =

dxi дх

5.3.7. Дивергенция. Дивергенция, которая представляет собой скалярную плотность, становится чистым скаляром, если умножить ее на -~==г.

Общая формула этой скалярной дивергенции в произвольных криволинейных координатах имеет вид

1 VI д

{V\g\A

В трехмерных ортогональных криволинейных координатах получим

Так как должен получиться чистый скаляр, то достаточно умножить полученное выражение на - Тогда .:

Формула для скалярной дивергенции преобразуется к виду

(eeesA) -+- (eeeA) Ч- {.еееА

Вводя обычные для векторного исчисления компоненты, будем иметь

div о =

5.3.8. Лапласиан. Так как лапласиан есть чистый скаляр, так же как и функция V, то не требуется рассматривать вопрос о разнице в обозначениях, и мы можем вычислять лапласиан в ортогональных криволинейных координатах для трехмерного пространства, исходя из общей формулы

Здесь

\0 о erJ

Следовательно,

1 Г д (еез dV

вгвзвз

(e dV\, д 1е,ез дУ \

\ е, дх j дхЛ €2 дх 1

д (е,е2 дУ\ дх \ ез дх I

дх \ е, дх 1 дх\ е дх ) дх \ вз дх

5.3.9. Тензорная форма уравнений Максвелла. Рассмотрим обычное для теории относительности пространство. Величина ds в этом ортогональном пространстве имеет форму

ds = dx\-\-dxl+dxl - cdfi.

Следовательно, четыре координаты этого пространства - времени будут

Ху, JCg, 3 и Jet,

где через с обозначена скорость электромагнитных волн в пустоте. В таком ортогональном пространстве обозначение вариантности несущественно. Поэтому индексы расставляются произвольно в нижнем положении. Рассмотрим вектор J с проекциями

Л. Л- к icp

и два антисимметричных тензора второго порядка:

о -Н,

jcD,

\jcDy О

- JcD

- jcD

О /

So - Be, -

JrE.

с

-JrE.

придадим t значения 1, 2, 3, 4. Аналогично два последних уравнения Максвелла получаются из равенства

dFij dFki , УАр

dxji dxj dXi

Замечание. Уравнения Максвелла написаны здесь в рационализированной системе МКСА. Если бы их требовалось написать в системе Гаусса, т. е. в виде

1 d£> , 4те ,

divZ) = 4n:p,

roiE=-.

с dt .

divS=0,

то достаточно было бы последнюю строку и последний столбец тензора О разделить на с, а тензора F умножить на с и, кроме того, вектор J умно-

жить на -.

5.4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Этот оригинальный метод был разработан в США Габриэлем Кроном.

5.4.1. Элементы электрических цепей с сосредоточенными постоянными. Электрическая цепь наиболее общего вида состоит из нескольких ветвей, соединенных между собой определенным и не меняющимся во времени способом. Такая ветвь, схематически представленная на рис. 5.9, может содержать катущки индуктивности, конденсаторы, активные сопротивления, электронные усилители, электродвигатели и т. д. Между элементами цепи, входящими в некоторые ветви, может иметь место электромагнитная или электромеханическая ) связь. В некоторых ветвях, или даже в большинстве из них, могут находиться источники э. д. с.

) Например, две механически связанные между собой катушки, находящиеся в разных ветвях и помещенные в постоянное магнитное поле.

Уравнения Максвелла будут

divZ> =р, uivB=0.

Здесь Е. Н, D, В, J-это соответственно векторы напряженности электрического и магнитного поля, электрической и магнитной индукции и плотности тока, ар - плотность электрических зарядов.

Мы получим первые два уравнения Максвелла, если в равенстве