собой, и по конструкции поток аддитивен для тока, проходящего в напра-

влении аЬс. Пусть

Zfjc - сопротивления связи. По проводам I.

II, III приходят известные нам токи: У*, У --\-j). Имеем следующие численные значения:

У=2 + 27,

27. 1+7.

Zoc=-J

(в омах), (в омах), (в вольтах), (в амперах).

Комплексное значение показывает, что, например, сопротивление Z состоит из активного сопротивления в 1 ом и из индзктивного сопротивления в 2 ома; кроме того, имеет амплитуду в ]Л1 4-1 = 12 вольта и опережает по фазе на 45 . Аналогично имеет ту же амплитуду, что и gj, но отстает от по фазе на 45°.

Возьмем, например, г в качестве контурного тока и выразим i . f как функции и внешних токов . У;

ibe - j - jt

Этим определяется матрица связи [С] и ее транспонированная

[С] =

1 1 L1

О - 1 -1

[С] =

1 1

о -1 L0 -1

Имеем

4-fl07

- 3- 5у

- 2- ЗУ

[£] = [С][Е] =

Отсюда ползчаем уравнение

-3 - 57 3+27 2 + 27

-1-7J

-1 0J

- 2 - 3/ 2 + 27 2+ 7J

Это уравнение можно представить в виде системы двух уравнений. Первое уравнение

(4+107)/ + [-3-57 -2-37] jj =-3,

откуда определяем численное значение а затем г* и \\

f= 1,6+0,247. . i* = -1,4 -0,767. 4:=-0,4-1,76У.

Второе уравнение

- 3-5Л l-\-2J 2 + 2/ - 2 -SyJ +[2 + 27 2+ 7 откуда находим численное значение и V:

v., = - 4.4 -1,287, = -1,52 -2,727.

Далее, легко проверить, что

z,j ++Z / + Z / +Z i*+Z / +Zi+

. +z,/ + Z,/-6,

- - = 0,

v. - = - Z i* ~ Z.i - z.

5.5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

5.5.1. Введение. Тензорное исчисление позволяет значительно упростить изучение кристаллических сред (в большинстве своем анизотропных), определяя для кристаллов данного типа независимые постоянные, знания которых достаточно для получения всех необходимых данных о свойствах изучаемого явления. В частности, изучение пьезоэлектрических свойств кварца требует использования громоздкого математического аппарата. Методы же тензорной алгебры значительно упрощают исследование. Исторически. тензорное исчисление, которое получило сейчас широкое развитие и проникло во все отрасли физики, было создано для изучения свойств анизотропных сред.

В дальнейшем мы будем рассматривать метрическое пространство, отне-,сенное к прямоугольной системе координат. Вследствие этого мы не будем делать различия между ковариантностью и контравариантностью, однако индексы будем по-прежнему размещать вверху и внизу, чтобы можно было использовать правило суммирования, принятое в начале главы.

Разъясним смысл сказанного на примере.

5.5.2. Диэлектрические свойства кристалла. Сравним соотношения, связывающие напряженность электрического поля h и электромагнитную индукцию d в некоторой точке, для изотропного и анизотропного тел.

В первом слзчае оба вектора had имеют одинаковое направление, и связывающая их диэлектрическая проницаемость е представляет собой скаляр: ,

d=&h.

Для анизотропной среды связь между этими векторами гораздо сложнее. Векторы d и h имеют уже различные направления, их составляющие связаны линейными соотношениями, заменяющими пропорциональность, имевшую место в первом случае. Здесь мы получим три равенства (трехмерное пространство):

di = Iih. (i=l,2, 3).

Эти формулы (свернутое произведение), определяющие вектор, показывают, что (е) есть тензор второй валентности. Так как в декартовом пространстве понятие вариантности не имеет смысла, то тензор (е) не является смешанным. Этот симметричный тензор есть тензор диэлектрической проницаемости.

Он имеет шесть существенных компонент, знание которых необходимо для установления диэлектрических свойств кристалла. Действительно, если нам требуется найти значение диэлектрической проницаемости в направлении, определяемом углом 6, который оно составляет с осью 3, и углом ср, который его проекция на плоскость 1 - 2 образует с осью 1 (сферические координаты), то достаточно осуществить два последовательных поворота на углы ср и 6, приводящие к совпадению оси 1 с этим направлением.

Поворот против часовой стрелки на угол ср вокруг оси 3 и последующий поворот по часовой стрелке на угол --6 вокруг нового положения

оси 2 определяется матрицей преобразования координат, которая является произведением двух матриц, описывающих оба поворота, а именно:

sine О cosi О 1 О L-cose О sinej

coscp sincp О - sincp coscp О 0 0 1.

cos tp sin 6 - sincp L- cos cp cos I

sin tp sin 6

coscp - sincp cos I

cos 0

sinej

В определенной таким образом новой системе координат тензор диэлектрической проницаемости, представленный матрицей е, задается формулой >)

Компонента Sj этого тензора есть искомое значение диэлектрической проницаемости в требуемом направлении.

Вследствие имеющейся в кристалле симметрии число независимых компонент тензора (е/) уменьшается.

Действительно, рассмотрим, например, кристалл с осью симметрии

п-то порядка.. Если его повернуть на угол - вокруг этой оси, то в новом

положении кристалл ничем не отличается от кристалла, находящегося в прежнем положении. Если а - матрица, определяющая этот поворот, то

е - аеа.

Равенство матриц s, входящих в обе части этого соотношения, накладывает на компоненты е несколько условий, вследствие чего зменьшится число независимых компонент. В частности, нередко встречающееся условие е = - ej приводит к результату:

BJ = 0.

5.5.3. Матрицы преобразования для некоторых часто встречающихся систем координат. Рассмотрим матрицы преобразования прямоугольных координат, используемые во всех тех случаях симметрии, которые могут встретиться при изучении кристаллов.

) Здесь матрица а определяет новую систему координат как функцию старой. Следовательно, она является обратной по отношению к матрице преобразования координат о из п. 4.1.21: a = a-. Более того, она представляет собой ортогональную матрицу, так как {а)~=а.