а) Поворот на угол -f-cp (в направлении против часовой стрелки) вокруг оси 1:

вокруг оси 2:

вокруг оси 3:

coscp - sincp 0

sincp coscp 0

Можно сразу же получить матрицы, соответствующие поворотам на углы It, Y У вокруг каждой из осей.

Рассмотрим поворот на угол ср вокруг оси 3 и последующий поворот

на угол -6 вокруг нового положения (после первого поворота) оси 2.

Такое преобразование приводит к совпадению новой оси 1 с направлением, определяемым углами ср, 6 (сферические координаты). Матрица этого преобразования обозначается а:

coscp sin 6 sincp sin 6 - sincp coscp

L-coscp cos 6 -sincp cos I

6) Симметрия no отношению к плоскостям 1-

О LO

О -и

-1 О

L О

О L0

cos I

sinbj -2, 2-3, 1-3:

О О-

- 1 О

в) Симметрия по отношению к началу координат:

-1 О О 0-1 О

О О -и

Пример. Возьмем кристалл с осью симметрии четвертого порядка (тетрагональный). При повороте на 90° вокруг оси 3 матрица преобразования имеет вид

О 1 01

- 10 0

- О О и

Примем ось симметрии за ось 3. Если повернуть кристалл вокруг этой оси на 90°, то в физических свойствах кристалла не произойдет никаких изменений, а следовательно, такой поворот не изменит тензора е, откуда следует, что

е = аеа.

представляя это равенство в развернутом виде, получим

что, в силу симметрии матрицы, приводит к условиям:

р2 .pi р1 рЗ рЗ р2 Г\ р1 р2

1 - 2 - 3 - 1 - 2 - 3 - h - 2-

Видим, что имеются только две не равные нулю независимые компоненты £} и еЗ.

Кристаллы тетрагонального класса обладают и другими видами симметрии, которые в рассматриваемом случае не вносят никаких дополнительных упрощений. Итак, если ось симметрии четвертого порядка тетрагонального кристалла принимается за ось 3, то тензор диэлектрической проницаемости имеет вид

Диэлектрические свойства тетрагонального кристалла будут известны, если будут определены экспериментально величины sJ и е, представляющие собой значения диэлектрической проницаемости в направлениях, соответственно перпендикулярном и параллельном оси симметрии кристалла.

Действительно, найдем для этого кристалла диэлектрическую проницаемость в направлении, определяемом углами 6, tf. Она будет равна ej, где тензор е определяется равенством

£ = аеа.

Непосредственное вычисление дает

s} = e}sin2e4-e3cos2 6.

Эта величина, как было очевидно и заранее, не зависит от згла tp, так как ось 1 является произвольной осью в плоскости, перпендикулярной оси 3, и, следовательно, угол f также является произвольным.

Механические свойства кристалла

Применим принципы, изложенные выше в связи с изучением диэлектрических свойств кристаллов, к исследованию напряжений и деформаций среды, а также их связи с электрической поляризацией (т. е. с пьезоэлектричеством).

6.6.4. Напряжение. Вырежем мысленно в твердом теле небольшой тетраэдр, три грани которого параллельны координатным плоскостям. Установим условия равновесия этого объема.

Обозначим через Т Т, напряжения (т. е. силы, приложенные к единице поверхности) на гранях тетраэдра, параллельных координатным плоскостям, а через Т - напряжение на четвертой грани. Будем считать напряжения положительными, если они направлены от плоскостей тетраэдра

откуда

где обозначено:

Величины Sill образуют тензор s с общей компонентой Вц, который называется тензором деформации. Тензор деформации также симметричен, так как Sn - Sji, и имеет шесть независимых существенных компонент.

Можно показать, что компоненты, расположенные по главной диагонали Sli, представляют собой дефор-мации, параллельные оси i. Иными словами, Sii - это растяжение вдоль оси i при положительных Sn или сжатие лри отрицательных s. Остальные компоненты Si представляют собой изме-

наружу. Если величины ds, ds, ds, ds представляют собой соответственно площади граней тетраэдра, то одно из условий равновесия выражается векторным равенством

Tds--=Ti dsy + ds + 73 ds.

, Если обозначить через п, п, составляющие единичного вектора внещней нормали к плоскости четвертой грани тетраэдра, то

dsy = п ds, ds = ds, ds = ds.

Если компоненты векторов Ту, Т, Т, Т по осям 1, 2, 3 обозначить соответственно через tyy, ty, ty, ty, tv 32 i3 23 зз> 2 З то указанное векторное условие равновесия получит следующую скалярную форму:

Эти соотнощения определяют тензор t с общей компонентой tji, который называется тензором напряжений.

Второе условие равновесия тетраэдра состоит в равенстве нулю главного момента приложенных к нему внешних сил. Использование этого условия приводит к равенству тангенциальных составляющих напряжений:

12 ~ 21- 13 - 31 23 - 32-

Следовательно, тензор t симметричен и имеет шесть независимых компонент.

5.5.5. Деформации. Рассмотрим в твердом теле малый отрезок ds, проекции концов которого на координатную ось г обозначим через x и x-\~dx. Деформируем каким-либо способом твердое тело. Тогда отрезок ds перейдет в dS; начальная точка этого отрезка переместится на величину к; таким образом, после деформации координаты концов отрезка будут

x-\-u, x + dx + u-Jrdu.

Величина u является непрерывной функцией координат х. Поэтому можно написать

dS - ds = 2гй dx dx ,

2[dx дхЧ dxi dx

В случае малых деформаций можно пренебречь членами второго порядка малости; тогда

ди 1 I ди , йи*