нение, которое претерпевает при деформации угол, стороны которого были первоначально параллельны осям J и k.

Известно, что тензору можно придать диагональную форму, приняв за оси координат собственные направления представляющей его матрицы. В случае симметричной матрицы собственные направления ортогональны. Если указанным образом преобразовать тензор деформации, то он примет вид

/S, О 0\

О 52 О .

\0 О sJ

Это не означает, что тензор деформации зависит только от трех не равных нулю компонент S, S, так как остальные три компоненты первоначального тензора были использованы для определения направлений собственных осей при преобразовании тензора к диагональной форме.

Шаровидный элемент твердого тела, имеющий радиус р, становится после деформации эллипсоидом с тремя неравными осями. Направления этих осей совпадают с собственными направлениями матрицы, а их длины равны

2p(l+5i), 2р(1+52). 2р(1+5з).

6.6.6. Тепловое расширение. Таким же образом можно рассматривать деформацию, возникающую вследствие теплового расширения. Если температура твердого тела изменяется от до 1q-j-i, то вектор с началом в точке О и с проекциями претерпит растяжение, в результате которого его проекции изменятся на величины Д/.

Если а - тензор теплового расширения, то

д;, = т2а.-/-

Этому симметричному тензору можно придать диагональную форму

[А, О 0\ О Ла О

\0 О aJ

Шар радиуса р станет после расширения эллипсоидом, оси которого совпадают с собственными направлениями матрицы; длины осей равны

2р(Ц-Л1)т, 2р(1--Л2)т, 2р(14-Лз)т.

Коэффициент расширения в направлении, задаваемом углами б, будет представлять собой компоненту а\ тензора а, который определяется равенством

а - ааа\

5.6.7. Обобщенный закон Гука. В одномерной среде (нить) закон Гука устанавливает зависимость между напряжением и деформацией:

t = ms.

Коэффициент пропорциональности т называется модулем упругости.

Для трехмерной среды (изотропной или неизотропной) эта зависимость в случае малых деформаций превращается в следующее тензорное соотношение:

О 1 О--10 0 О О 1

0 -1 О-

1 О О О О 1

Отличные от нуля члены:

4-1, af=l, 31, р2=-1,

Вследствие простоты матрицы а, которая содержит. только по одному не равному нулю члену в каждой строке и в каждом столбце, знак суммы, имеющийся в общей формуле, исчезает.

Произведения, содержащие по одному разу а* или р приводят к равенству компонент, имеющих одинаковую абсолютную величину и противоположные знаки; следовательно, эти компоненты равны нулю. Произведения, совсем не содержащие или содержащие по два раза или приводят к равенству соответствующих компонент. Например,

где т - тензор четвертой валентности. Действительно, свертывание произведения этого тензора на тензор второй валентности 5у приводит к тензору второй валентности tfj. Тензор mj называется тензором модулей упругости.

Так как тензоры и симметричны, то тензор т также симметричен по отношению к обеим парам своих индексов г, j и к, I. Следовательно, число его независимых компонент сократится с 81 до 36. Кроме того, поскольку в данном случае не различаются ковариантность и контравариантность (прямоугольные оси), то

что в самом общем случае сократит число независимых компонент до 21. Систему (24) можно решить относительно величин 8,1, при этом получим

Тензор с, имеющий по тем же соображениям, что и тензор т, 21 компоненту, называется тензором коэффициентов упругости.

Наличие симметрии в кристалле значительно уменьшает число независимых компонент. При этом следует использовать метод, изложенный выше. Примем одну из осей симметрии за ось координат, осуществим надлежащий поворот, определяемый матрицей а, а затем приравняем элементы матрицы mf., отнесенной к старой системе координат (до поворота), элементам матрицы ппр, отнесенной к новой системе координат (после поворота). Это приведет нас к системе уравнений следующего вида:

ijkl

Так как речь идет о прямотольной системе координат, то между матрицами аир существует соотношение

Пример. Рассмотрим кубический кристалл, имеющий три взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого порядка. Примем за ось 3 одну из осей симметрии, а за оси 2 и 1 - две другие.

Матрица, определяющая поворот на 90° вокруг оси 3, равна

Если произвести такой же расчет для поворотов на 90° вокруг двух других осей, то окажется, что не равны нулю только следующие составляющие:

-т.

т.

=т,= т.

Отсюда следует, что для кристалла кубического типа тензор модшей упругости имеет только три независимые существенные компоненты.

6.6.8. Применение шестимерного пространства. Если речь идет о тензорах валентности выше второй, то формулы преобразования координат довольно сложны. Вычисление компонент тензора в этом случае требует большой затраты труда и времени. Что же касается тензоров второй валентности, то применение формулы

весьма упрощает вычисления. Естественно стремление найти аналогичную формулу для тензоров четвертой валентности.

Тензоры t ц S симметричны и имеют по шесть составляющих в трехмерном пространстве (пространство d). В шестимерном пространстве (пространство D) мы можем рассматривать эти тензоры как векторы с компонентами

3-33

- 23

7-5 = 3.

6--12>

6 = 12-

Т\ = tw 2 22

5j = 5ц, 2 = 22. --- S33, 4 = 23,

Тензор т станет в пространстве D симметричным тензором М второй валентности, имеющим не более чем 21 компоненту. Равенство (24) превратится в пространстве D в равенство

Требуется решить задачу: какова должна быть матрица А преобразования координат в пространстве D, соответствующая матрице а преобразования координат в пространстве d.

Если мы сможем образовать матрицу А с помощью элементов матрицы а. то для преобразований в пространстве D получим формулу

М = АМА.

Для того чтобы найти матрицу Л, достаточно сравнить формулы

t = ata и Т=АТ,

где t - тензор второй валентности, а Т - вектор с шестью составляющими в пространстве D. Приравнивая соответствующие компоненты в левых и правых частях этих равенств, получим

-(ai)2 ( 2)2 (af)2 2а2аЗ 2afai 2а}а2

2аЗа1 2 М

2аа2 2а1а2

(4)2 ( 2)2 ( 3)2 2а2 з (4) Н7 2 з 1

! > 2 2 3 3 а2(,3 ( (,3(,2 аЗ 14- 1 3 1 2 4- 2 1

2 2, 3 3 2 3 аЗ 2 3 14 1 3 1 2 2а1

г-з

a:Jai а2а2 з з а2 3-- За2 з 1 д1 з i 2 j 2 i