Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу ИСХОДЯ ИЗ элементов матрицы а. имеющие по три строки и по три Видим, что матрицу А легко получить. Если разложить ее на четыре матрицы, столбца -К 1. Элемент матрицы Ау представляет собой квадрат элемента занимаю щего в матрице а такое же место. 2. Элемент матрицы Л2 является удвоенным произведением двух остальных элементов, стоящих в той же строке, что и соответствующий элемент матрицы а. 3. Элемент матрицы Л3 является произведением двух остальных элементов, стоящих в том же столбце, что и соответствующий элемент матрицы а. 4. Элемент матрицы Л4 представляет собой сумму попарных произведений взятых крест-накрест элементов, оставшихся после вычеркивания строки и столбца, в которые входит соответствующий элемент матрицы а. Если преобразование системы координат, определяемое матрицей а, отвечает симметрии кристалла, то формула М = АМА (25) позволяет уменьшить число независимых компонент. Легко вернуться от обозначения Alj, в пространстве D к обозначению mf} в пространстве d. Действительно, соотношения между индексами ij и р, kl и q дают возможность написать 1, 22 - 2, 33~3. 32~4, 31-5, 21-6. Пример. Для пояснения этого метода рассмотрим кгбический кристалл и выберем те же оси, что и ранее (см. пример в п. 5.5.7). Матрица а (поворот на 90° вокруг оси 3) в соответствии с правилами, перечисленными выше, дает для матрицы Л:
Заметим попутно, что этот тензор представляет собой в выбранной системе координат тензор модулей упругости для четырехугольного кристалла. Для этого класса кристаллоц, если вернуться в пространство d, отличные от нуля компоненты тензора т равны ii = m, m22, т% т%. mfmf,. mf,. Для кристаллов кубического типа мы должны воспользоваться свойством симметрии четвертого порядка относительно остальных двух осей. Выберем за новую ось поворота ось 1. При повороте вокруг нее на 90° матрица А равна Применяя формулу (25) к тензору М, полученному после первого преобразования (поворота вокруг оси 3), будем иметь
Отсюда получаем первое упрощение тензора М: 21 Это уже известный нам результат. 5.5.9. Модуль Юнга. Рассмотрение модуля Юнга позволит нам проиллюстрировать нахождение некоторой характеристики, которая отвечает определенному направлению, заданному углами б, Для нити длины I, подверженной напряжению Т, вызывающему приращение длины модуль Юнга Y определяется соотношением -1т. I ~ Y В трехмерном пространстве модуль Юнга для оси 1 будет определяться равенством откуда YiM\ = mll. Если требуется найти модуль Юнга для направления, заданного углами б, ср, достаточно проделать преобразование М= АМА. Матрица А получается на основании матрицы а, с помощью которой осуществляется преобразование при двгх последовательных поворотах на углы ф и - б. Модуль Юнга F, е будет равен компоненте уИ} матрицы М. Если применить непосредственно тензорное преобразование, то для определения модуля Юнга У j получим формулу / Пьезоэлектричество 5.5.10. Электрическая поляризация. Механическая деформация может вызвать в кристалле электрическую поляризацию (пьезоэлектричество), которая в первом приближении пропорциональна этой деформации. Если р-вектор поляризации, то три уравнения для его проекций на оси координат 1, 2, 3 запишутся в виде Эта формула вводит тензор е третьей валентности, симметричный относительно индексов J и к, в силу чего число его независимых компонент сокращается с 27 до 18. Используя линейные соотношения, связывающие напряжения с деформациями, можем написать -JV - Это соотношение определяет новый тензор 8, который называется пьезоэлектрическим тензором. Как и тензор е, это тензор третьей валент- Остались только три независимые существенные компоненты: м\, М\, М\. Использование условия симметрии относительно третьей оси - оси 2 - не дает дополнительных упрощений. Вернувщись к пространству d, находим
|