Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

ИСХОДЯ ИЗ элементов матрицы а. имеющие по три строки и по три

Видим, что матрицу А легко получить. Если разложить ее на четыре матрицы, столбца

1. Элемент матрицы Ау представляет собой квадрат элемента занимаю щего в матрице а такое же место.

2. Элемент матрицы Л2 является удвоенным произведением двух остальных элементов, стоящих в той же строке, что и соответствующий элемент матрицы а.

3. Элемент матрицы Л3 является произведением двух остальных элементов, стоящих в том же столбце, что и соответствующий элемент матрицы а.

4. Элемент матрицы Л4 представляет собой сумму попарных произведений взятых крест-накрест элементов, оставшихся после вычеркивания строки и столбца, в которые входит соответствующий элемент матрицы а.

Если преобразование системы координат, определяемое матрицей а, отвечает симметрии кристалла, то формула

М = АМА

(25)

позволяет уменьшить число независимых компонент.

Легко вернуться от обозначения Alj, в пространстве D к обозначению mf} в пространстве d. Действительно, соотношения между индексами ij и р, kl и q дают возможность написать

1, 22 - 2, 33~3. 32~4, 31-5, 21-6.

Пример. Для пояснения этого метода рассмотрим кгбический кристалл и выберем те же оси, что и ранее (см. пример в п. 5.5.7).

Матрица а (поворот на 90° вокруг оси 3) в соответствии с правилами, перечисленными выше, дает для матрицы Л:

равенству

- Ml

- Ml

- Ml

- Ml

- Ml

- Ml

- Ml

- Ml

- Ml

-Мб

- Ml

- Ml



Заметим попутно, что этот тензор представляет собой в выбранной системе координат тензор модулей упругости для четырехугольного кристалла. Для этого класса кристаллоц, если вернуться в пространство d, отличные от нуля компоненты тензора т равны

ii = m, m22, т% т%. mfmf,. mf,.

Для кристаллов кубического типа мы должны воспользоваться свойством симметрии четвертого порядка относительно остальных двух осей.

Выберем за новую ось поворота ось 1. При повороте вокруг нее на 90° матрица А равна

Применяя формулу (25) к тензору М, полученному после первого преобразования (поворота вокруг оси 3), будем иметь

м\ м\

м1 м\

м\ м[

Отсюда получим тензор М

кристалла к

убического типа

в виде

0 0

0 0

0 0

0 0

М\ 0

>

0 м\

Отсюда получаем первое упрощение тензора М:



21

Это уже известный нам результат.

5.5.9. Модуль Юнга. Рассмотрение модуля Юнга позволит нам проиллюстрировать нахождение некоторой характеристики, которая отвечает определенному направлению, заданному углами б, Для нити длины I, подверженной напряжению Т, вызывающему приращение длины модуль Юнга Y определяется соотношением

-1т.

I ~ Y

В трехмерном пространстве модуль Юнга для оси 1 будет определяться равенством

откуда

YiM\ = mll.

Если требуется найти модуль Юнга для направления, заданного углами б, ср, достаточно проделать преобразование

М= АМА.

Матрица А получается на основании матрицы а, с помощью которой осуществляется преобразование при двгх последовательных поворотах на

углы ф и - б. Модуль Юнга F, е будет равен компоненте уИ} матрицы М.

Если применить непосредственно тензорное преобразование, то для определения модуля Юнга У j получим формулу /

Пьезоэлектричество

5.5.10. Электрическая поляризация. Механическая деформация может вызвать в кристалле электрическую поляризацию (пьезоэлектричество), которая в первом приближении пропорциональна этой деформации.

Если р-вектор поляризации, то три уравнения для его проекций на оси координат 1, 2, 3 запишутся в виде

Эта формула вводит тензор е третьей валентности, симметричный относительно индексов J и к, в силу чего число его независимых компонент сокращается с 27 до 18.

Используя линейные соотношения, связывающие напряжения с деформациями, можем написать

-JV -

Это соотношение определяет новый тензор 8, который называется пьезоэлектрическим тензором. Как и тензор е, это тензор третьей валент-

Остались только три независимые существенные компоненты: м\, М\, М\. Использование условия симметрии относительно третьей оси - оси 2 - не дает дополнительных упрощений. Вернувщись к пространству d, находим



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251