е = 2

Ijk и

=2 m-ififf=I т<ч=-

причем

Можно также, вместе того чтобы пользоваться формулами тензорного преобразования, использовать шестимерное пространство D. При этом тензор 8ц становится вектором 5 с шестью составляющими. Получим

Тензор е третьей валентности будет представлен в пространстве D прямоугольной матрицей с 18 элементами. Так как последнее выражение связывает вектор р трехмерного пространства d с вектором 5 шестимерного пространства D, формула для преобразования компонент тензора £, отвечающего преобразованию координат, определяемому матрицей а, будет иметь вид

Если использовать преобразование, соответствующее характеру симметрии кристалла, то матрицы Е и Е будут равны между собой. При этом число независимых компонент уменьшится. Для того чтобы вернуться к обозначениям, отвечающим первоначальному пространству d, следует использовать соответствие индексов, а именно

иначе говоря,

2 - 22, 3 - 33, 4 - 32, 5 - 31, 6-12.

Такое же вычисление можно проделать для тензора 8, который в пространстве D представляется прямоугольной матрицей Д с 18 элементами.

Пример. Рассмотрим кристалл прямоугольно-ромбического типа, характеризуемого тремя взаимно перпендикулярными осями симметрии второго

ности, симметричный относительно индексов j и k с 18 независимыми компонентами.

Если поместить кристалл в электрическое поле h, то деформации будут в первом приближении пропорциональны составляющим напряжения электрического поля по осям координат h; при этом получим шесть соотношений:

Тензор (pfj), определяемый последним выражением, тот же, что и- предыдущий, поскольку положение индексов в случае прямоугольной системы координат не имеет значения. Это можно показать, используя закон сохранения энергии.

Формулы преобразования компонент тензоров для случая преобразования прямоугольной системы координат, определяемого матрицей а, будут

порядка. Примем оси симметрии кристалла за оси координат. Поворот на угол It вокруг оси 3 характеризуется матрицей

-1 0 0 О О

-1 О

Применение формулы приводит к равенству

~д} д? д? д1 д! дГ

Д Да Д Дг Дг Дг

откуда получается первое упрощение матрицы Д:

О 0.0 Д д! О О О Д Д О

ц6 -

Д Д.Ч Дз о о Поворот на угол it вокруг оси 2 осуществляется с помощью матриц

- 10 о о 1 о о о -1 J

Применение формулы

Д = аДЛ

к упрощенной после поворота вокруг оси 3 матрице Д приводит к равенству

откуда получаем окончательный результат

О О О д1 0 0 0 0 0 0 0 0

О О

Дг О О

Единственные не равные нулю компоненты тензора 8 в рассматриваемой системе координат в пространстве d - это

8SZ 5.й1 5,12 1 . 02 , 03 -

Следует учесть, что в матрице Д индекс строки отвечает пространству d, а индекс столбца - пространству D.

Такое же вычисление приводит к выводу, что не равными нулю компонентами тензора е являются

ef, el\ ef.

Деформации, соответствующие компонентам s2 % i2> представляют собой только деформации скольжения.

Итак, квадратная пластина сегнетовой соли (относящейся к кристаллам рассматриваемого типа), вырезанная параллельно двум осям симметрии второго порядка, не обнаружит никакой электрической поляризации при сжатии, за исключением случая сжатия вдоль направления диагонали квадрата. Если поместить эту пластину в электрическое поле, направление напряжения которого перпендикулярно плоскости пластины, то она не будет испытывать ни растяжения, ни сжатия, но примет форму ромба.

Б.Б.П. Закон Кюри. Кюри доказал, что кристалл, имеющий центр симметрии, не может быть пьезоэлектрическим. Такой кристалл по всем своим физическим свойствам совпадает с кристаллом, который с ним симметричен относительно центра. В частности, пьезоэлектрический тензор не должен меняться при преобразовании координат, состоящем в том, что направления всех трех осей меняются на противоположные. Такое преобразование координат определяется матрицей

Вследствие простоты этой матрицы из формул преобразования компонент тензоров исчезает символ суммы. Кроме того, так как а - диагональная матрица, то получим

4j - }Ь = (-1) (-1) (-1) 8 = -

равны нулю, следовательно.

Видим, что все компоненты тензора кристалл не пьезоэлектрический.

Б.5.12. Пьезоэлектрические свойства кварца. В кристалле кварца имеются следующие оси симметрии: ось третьего порядка - оптическая - и три оси второго порядка - электрические, расположенные в плоскости, перпендикулярной оптической оси, под углом в 120° друг к другу. Под механическими осями подразумевают три оси, каждая из которых перпендикулярна оптической и одной из электрических осей.

Примем оптическую ось за ось 3, а одну из электрических заось 1. Осью 2 будет соответствующая механическая ось. Воспользуемся для определения независимых компонент пьезоэлектрического тензора формулами тензорного преобразования. Поворот на угол 180° вокруг оси 1 определяется матрицей

1 О О 0-1 О L0 О -1