Единственный положительный член этой диагональной матрицы а = Р}=1. Мы уже отмечали, что для матриц преобразования координат, имеющих по одному члену в строке или столбце, символ суммы в формулах преобразования компонент тензоров исчезает. Поэтому

Члены, не содержащие индекса 1 или содержащие его дважды, уничтожаются. Действительно, например,

й1,=да?1-(-1)(1)(1)8?1.

откуда следует, что 8п

0. Следовательно, не равны нулю только члены

. О3З. t>32. 031, О31,

8l2-

Осуществим поворот на угол 120° вокруг оси 3. Этот поворот определяется матрицей

£1 2

Заметим, что в матрицах аир все элементы, содержащие индекс 3, равны нулю, за исключением аЗ==:рз 1 Поэтому в формулах преобразования компонент тензора, если индекс 3 не содержится в преобразуемой компоненте, он не появится и в соответствующей компоненте после преобразования. Это соображение позволяет написать формулы преобразования координат сначала для b\i, 812, 822:

2}1 = Р} Ж + РЖ2?2

Заменяя элементы матриц а и р их значениями и заметив, что 812 = 821, получим

38}i-

2812 -- §22 = О,

8и+28?2 -8 = 0. 8}i-28?2+38 = 0,

откуда

22 =

: S?2 = -

Рассмотрение формул преобразования компонент, содержащих индекс 3, приводит к трем соотношениям:

Й!2=[ 1 + РЖ]8?2 =

2 12

и к системе уравнений

Чг = ШЧг + Ш12

откуда получаем

832 = - 8з1- *

Используя соответствие индексов для пространств d к D vi заметив, что аналогичный расчет приводит к таким же результатам для тензора е, можно составить две следующие матрицы:

Если раскрыть соотношения между поляризацией, напряжением и деформацией, мы получим для кварца в выбранной системе координат:

-S{l22-

-Ч2Ч2

р.--п-тУ

4232-

И12 3231

/1 = 8Уи-

2 = -12 -3231- Р2--

Ps=0. Рз = -

Эти системы позволяют сделать следующие выводы:

1. Любая деформация - сжатие или растяжение - вдоль оси 1 (s) или оси 2 (S22) приводит к появлению поляризаций вдоль оси I (р,) соответственно противоположных направлений.

2. Кручение вокруг осей 1 (s), 2 (sjg), 3 (Sjg) создает поляризации соответственно вдоль осей 1 (Pi), 2 (Pg). 2 (Pg)-

3. Любая деформация - сжатие или растяжение - вдоль оси 3 не создает никакой поляризации (р).

Б.Б. 13. Распространение упругих волн в кристаллах. Рассмотрим Б твердом теле плотности р элемент объема в виде параллелепипеда со сторонами dx, dx, dx. Уравнение его движения вдоль оси 1 мы получим, приравнивая друг другу силу инерции

pdx dxdx~

и совокупность сил, действующих на элемент объема в направлении оси 1, т. е.

dxj + dx dx3 [-dxj + dx dx (-5lf):

dxdx

при этом получаем уравнение движения

d dtu,dt

Р dt ~ дх дх дх

Поступая аналогичным образом для других осей, можем записать все три уравнения движения в виде

(/=1, 2, 3).

ди , ди

откуда

1 / ди . диу 2 [дх дх }

- 2 L Ч [ дх дхП i

вследствие симметрии по индексам / и в рассматриваемой сумме. Таким образом, получаем общее уравнение движения

дё V . ы ди

dt ч dxdxJ

5.5.14. Плоские волны. Рассмотрим простой случай распространения плоских волн. Этот случай особенно важен практически. В самом деле, кристаллы кварца, употребляемые для определения частот или как фильтры, имеют почти всегда форму тонких пластин. А при такой форме упругие колебания сводятся главным образом к плоским волнам, параллельным плоскостям пластины.

Плоскость определяется компонентами п, г?, г? единичного вектора п, перпендикулярного к ней, и расстоянием р до плоскости от начала координат (нормальное уравнение плоскости). Все точки любой плоскости, содержащей рассматриваемую плоскую волну, движутся в одинаковой фазе, иначе говоря, их положение зависит только от переменной t (времени) и от переменной р (расстояния до плоскости от начала координат).

В этом случае

ди ди др ди

дх др дх др

Уравнение движения принимает вид

dV VI duJ

дУ duJ

где rtij - общая компонента симметричного тензора п. который получится, если обозначить

Если Y - одно из собственных значений матрицы п (в силу симметрии ее собственные значения вещественны, а собственные направления взаимно перпендикулярны), то

пи = -а;

иными словами.

При этом уравнение движения приобретает форму уравнения колебаний упругой нити

ди дu

If -Р dt.-

Известно, что тензор напряжений t связан с тензором деформаций s соотношением (обобшенный закон Гука)