Если определить направление перемещения а с помощью единичного вектора w этого направления (не зависящего от тензоров t к s к зависящего только от y):

U = XW,

то получим

при этом имеет место распространение плоской волны со скоростью

Так как характеристическое уравнение, определяющее собственные значения матрицы п. представляет собой уравнение третьей степени

- Т 12 13

h2 22 -If 23 =0,

13 23 33 - Т

ТО В направлении вектора п с компонентами п , п? распространяются три плоские волны, соответствующие трем корням этого уравнения jj, fg- Тз

w= / -

со скоростями

Каждая из этих

волн создается движением частиц в направлении, определяемом вектором w. Все три направления, отвечающие корням fi Тг Тз взаимно перпендикулярны. Движение любой частицы рассматриваемой плоскости является результирующей трех движений, определенных указанным выше способом.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V

1. К о ч и н Н. е.. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, Гостехиздат, 1951.

2. 3 о м м е р ф е л ь д А., Механика, ИЛ, 1947.

3. Дубнов Я. С, Основы векторного исчисления, ч. 2, Гостехиздат, 1952.

4. Широков П. А., Тензорный анализ, ч. 1, ГТТИ, 1934.

5. К и л ь ч е в с к и й Н. А., Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике, Гостехиздат, 1954.

6. Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения, Физматгиз, 1961.

7. Крон Г., Применение тензорного анализа в электротехнике, ГЭИ, 1955.

г л А в А VI

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ!) 6.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Это дифференциальные уравнения вида

f(x.

dy \

= 0.

Точные способы интегрирования существуют лишь для небольшого числа уравнений первого порядка. Ниже дается краткий обзор наиболее распространенных типов таких уравнений.

6.1.1. Уравнения вида f{x, j = 0, fyy, -jO- Это уравнения,

в которых у или X не входят в явной форме. Рассмотрим два случая:

а) Уравнения разрешаются относительно Имеем

IJcpW или =ПУ)-

Решени!! уравнений получаются в квадратурах:

у = J ix)dx-+-C или х = J --iC.

Различные интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом по направлениям осей Оу или Ох. Если интегралы нельзя представить через известные функции, то их можно вычислить приближенно С помощью методов, изложенных в гл. X.

б) Уравнения разрешаются относительно х или у. Положим = Р Для первого вида уравнений получаем

X = /г (р).

f phip)dp + C.

а для второго

xfdp+C.

Эти выражения представляют собой уравнения интегральных кривых в параметрической форме.

) В этой главе излагаются точные методы решения дифференциальных уравнений. Приближенные приемы указаны в гл. X, посвященной численным и графическим методам.

Точно так же для уравнения / (у, - О имеем

- /f-+c.- .

Как и выше, мы получаем параметрические уравнения интегральных кривых Пример. yVl + y=:l. Положим

у = cos .

Решая уравнение относительно у, получим

y:~igi-

Далее,

dx --f- =-= ~ cos tdt,

y tg

t. e.

x = -sin + C

Таким образом, уравнения интегральных кривых в параметрической форме имеют вид

Гх = -sin + C,

\ у == cos t.

Очевидно, это окружности единичного радиуса, центры которых находятся в точках (С, 0).

6.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными. Это уравнения

вида -~/{х, у), в которых функция f{x, у) может быть представлена как

/(- у)=Ш-

Отсюда следует

.{y)dy = .f(x)dx.

Общий интеграл этого уравнения Ф(х) - Ч? (у) = const, где Ф(лг) и W(y)-соответственно первообразные функций tp(x) и (y). Пример. Решим уравнение

в нем легко разделить переменные:

dx 1 -у

у

Замечание. Иногда удобнее параметр ввести другим способом. Для

уравнения fx, -) -О положим, например, x~y(t). Разрешая алгебраи-

чески это уравнение относительно найдем

: .,

Отсюда