Тогда

- = dx.

a+bf{z)

Замечание 2. Уравнения, рассмотренные в п. 6.1.1.

также относятся к типу уравнений с разделяющимися переменными.

6.1.3. Однородные уравнения. Это уравнения вида = / {х, у), в которых функция /(х, у) может быть представлена как

f(x, y)=cp(i)- ,

Имеем

Положим

. . y = ux, dy = и dx-\-X du.

Подставляя в уравнение, получим

. с . du dx

tf (к) - к x : Z.\ . . 1пСх= f -\

. - ,1 <f(u) - и ,

пример. Решим уравиеиш ху dx -(х - y)dy=:0. Положим

у = их; dy~udx-\-xdu.

Подставляем в уравнение:

xdu(u-l) = - uxdx.

и -1 dx da =---.

Интегрируя, получаем

\ги~-\пх = С я, возвращаясь к функции у, находим

Интегрируя, получим общее решение:

х у

Замечание 1. К рассматриваемому типу уравнений сводится уравнение вида

Для этого достаточно ввести новую переменную

z= ах-\-Ьу.

где Cj, b с 2 - постоянные. Если прямые а,х-\-Ь,у-c, - Q и зл: + 2 + 2 = О пересекаются в точке {х у{), то, полагая

Х = х-

X,

приходим к однородному уравнению относительно X к Y:

dV ./a,X-{-b,r dX~J XaX+bY

Если прямые ayX-\-b,y-\-c, - 0 и Cg- + 2 + 2 - параллельны, то, полагая z= а,х-\-Ь,у, получаем уравнение с разделяющими переменными:

dz dx

.bj{±\

+ 1-

Пример. Решим уравнение 2{х - 2)dx--\- {2у - Ъх) dy = 0. Координаты точки пересечения прямых х, = 2, у, - 5; заменяя переменные х = Х-\-2, у=К + 5, приходим к однородному уравнению 2Х dX (2Y - 5X)dY = 0.

6.L4. Уравнение в полных дифференциалах. Пусть общее уравнение

- - О написано в виде

Р(х, y)dx + Q{x, y)dy==0.

X, у.

dx ,

Если функции Р к Q таковы, что

ду дх

то известно, что существует такая функция F(x, у), для которой

dFs=P(x, y)dx + Qix, y)dy. \ .

Выражение F(x, у) = const и будет интегралом изучаемого уравнения. Функцию F легко можно представить в виде

F{x, У) = /Р(.х, y)dx-]-f[Q(x, У) - щ-[y)dx

Пример. Решим уравнение - dx -\- (уЗ - in х) dy

0. Вычислим

dQ .

дР ду

дх

Следовательно,

Fx, y)=f idxf

дР ду

dQ дх

y3ljix-~Jjdx dy = ylnx-i-

ylnx + ==C

- общий интеграл уравнения.

Замечание. Рассмотрим уравнения вида dy

Имеем

й- = ср(л;) UV. I dv . .

In w = J cp (л:) dx, w = e

Тогда

~ - Ч 9ix)dx

xx x

,fix)dx - <f{x)dx f f(x)dx

y = e je <l(x)dx-{~Ce

Решение уравнения у представлено здесь как сумма двух функций. Первая при х=а обращается в нуль, а вторая принимает значение С.

Применение интегрирующего множителя. Напишем линейное уравнение в виде

Попробуем определить такую функцию М(х), чтобы выражение

М-М(х)у

представляло собой производную произведения у на некоторую функцию от х Для этого нужно, чтобы

, . dM

ЛГср(л;) = -

In Ж - - J (р (х) dx.

Выражение

- ( f(x)dx

6.1.Б. Линейное уравнение. Это уравнение вида

. = уср(л:) + ф(л:). (1)

тПоложим, что y-uv, где и и v - неизвестные функции х. Имеем

du , dv . . 114

Выберем функции v так. чтобы