6.1] - УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА - . 311

является интегрирующим множителем для линейного уравнения.. .Подставляя в уравнение значение М, находим для у решение, полученное нами ранее.

6.1.6. Уравнение Бернулли. Это дифференциальное уравнение вида

-hf(x)y = H)y - (2)

Оно сводится к линейному, если сделать замену z = yi~ . Имеем

dz 1 - п dy

dx у dx

Подставляя в уравнение, находим

-g-- ( - 1) Z/(л:) + ( - 1) <р (л:) = 0.

6.1.7. Уравнение Риккати. Это дифференциальное уравнение вида

%+РЛх)у-)гР2{х)у-]гР{х)0. :

где р,(х), Р2(х). Ps{x) - произвольные функции от х.

Если известен частный интеграл у то разыскание общего интеграла этого уравнения сводится к решению уравнения Бернулли. Действительно, полагая z~y - y имеем

~hz[2y,p,(x)-\-p2(x)]-\-zp,(x) = 0.

Если известны три частных интеграла уравнения Риккати yi(x), уСх), yix) то легко показать, что общий интеграл этого уравнения у(х) удовлетворяет условию: ангармоническое отношение

i:-i const. У~У1 Уз -У1

Следовательно, у{х) определяется без интегрирования.

6.1.8. Уравнение Лагранжа. Это уравнение вида

ух(у)-\-с{у). Продифференцируем по х и положим у = р. Тогда

p=f(p)-hix<?(p)-hY(p)] :

[ср (Р) - Р]+ 9(Р) + f (Р) = 0.

Мы получили линейное уравнение для функции х{р). Пусть x = f{p. С) - его общий интеграл. Заменяя в уравнении Лагранжа у и х на р м f (р. С), найдем интегральные кривые этого уравнения в параметрической форме:

I х=/(р, С),

\ y=fiP. С)ср(р) + ф(р).

6.1.9. Уравнение Клеро. Это частный случай уравнения Лагранжа в котором <р(у) = у:

у=лу + ф(уО-

, dz

Исходное уравнение переходит в уравнение

которое часто оказывается проще заданного. Если его решение имеет вид

Повторяя предыдущие рассуждения, получим

[x + f (p)]-g=0. (3)

Здесь возмо}йны два решения:

1. -g = 0 или р = С. Подставляя это решение в уравнение Клеро, находим

.у = Сл: + Ф(С).

Следовательно, общий интеграл представляет собой семейство прямых.

2. x-\-Y (Р) = 0- Это уравнение в сочетании с уравнением Клеро y = xp-\-i(p) дает параметрические уравнения огибающей к семейству найденных выше прямых. Эта огибающая является особым решением уравнения Клеро.

6.1.10. Общий случаи f{x, у, \=0. Общего метода для решения

такого уравнения не существует. Отметим два искусственных приема, которые могут оказаться полезными в некоторых случаях.

Дифференцирование. Рассмотрим уравнение у = ср(л;, у). Положим у = р и продифференцируем по х. Тогда

У -Р- дх др dx

Если мы сможем решить это дифференциальное уравнение, рассматривая здесь X как функцию р. то получим искомые интегральные кривые в параметрической форме

I x = h(p, с),

I У = ?[/г(р; с), р\.

Отметим, что этим приемом решалось уравнение Лагранжа.

Преобразование Лежандра. Рассмотрим уравнение f{x, у, у) = 0. Положим

Z = - у + ху. s = y,

здесь Z - новая функция, а s - новая независимая переменная. Это преобразование называется преобразованием Лежандра. Получаем

= - у dx -\- у dx X dy ~ х dy ~ х ds.

Отсюда

то переход к старым переменным осуществляется по формулам

х = -

dP ~й7

Не следует преувеличивать значения искусственных приемов. Они редко-удаются. В инженерной практике основным является метод численного решения дифференциального уравнения (см. гл. X).

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО

Общий вид дифференциального уравнения порядка выше первого

f(x, у.

dy dy

d y\

(4)-

dx dxdx

Решить это уравнение в квадратурах можно лишь.в.исключительно редких случаях. Иногда удается понизить порядок уравнения, что существенно облегчает решение.

Случаи понижения порядка уравнения 6.2.1. Уравнение не содержит явно функцию у. Достаточно ввести новую функцию = Z и порядок уравнения понижается на единицу. Если,.

dy dy d -y

кроме того, в уравнении (4) отсутствуют производные - -

dx dx-

то, полагая - = z, мы снизим порядок уравнения на k единиц.

6.2.2. Уравнение не содержит явно независимой переменной х. В этом

случае примем у за новую независимую переменную, а - = z - за новую функцию. Получим

dy dx dy dx dy dx

= z.

dz dy

Дифференциальное уравнение (4) принимает вид / dz d --

ср у. z.

dy dy

Порядок уравнения (4) снизился на единицу.

6.2.3. Уравнение, однородное относительно у. У,

У Положим

Отсюда

dy dx dy dx dy dx

dz dx

dz dx -dz dx-

T-4- 3

dz dz

dz \ dx)