Подставим эти выражения в уравнение (4). Вследствие однородности

относительно у, у.....у функция будет общим множителем членов

уравнения. После сокращения на новое дифференциальное уравнение уже не буд т содержать явно функцию z. Мы приходим, таким образом, к случаю, рассмотренному в п. 6.2.1.

6.2.4. Уравнение, однородное относительно х и dx. Положим

Отсюда

dx dz

dy dx d-y dx

p-2z

dy dy

f 2

dz J

Подставим эти выражения в уравнение (4). Вследствие однородности относительно х п dx множители е~* исчезают. Поэтому новое дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной z, и мы приходим к случаю, рассмотренному в п. 6.2.2.

6.2.6. Уравнение, однородное относительно х, у, dx, dy, dy, d y. Положим у -их, где и~и{х) - новая функция. После этой замены уравнение (4) становится однородным относительно х и dx. Мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в предыдущем пункте.

6.2.6. Общий случай однородного уравнения. Будем считать х к dx величинами первого измерения, а у, dy, dy.....d y - измерениями порядка k.

Тогда будет порядка k - 1, - порядка k - 2 и т. д.

Так же как и в предыдущем случае, мы приходим к дифференциальному уравнению, рассмотренному в п. 6.2.4, путем следующей замены функции:

у = их.

Пример. Рещим уравнение

dy dx

Оно, очевидно, принадлежит к рассмотренному типу при k=2. Положим

Отсюда

dy dx dy dx ~~

Уравнение (5) принимает вид

у = их .

х2 + 2 х.

dx du

-х + 2и.

2х~ + 2х + и~8а = 0.

т. е. становится однородным относительно х п dx (см. п. 6.2.4). Полагаем

...... х==е

dx- dz du 2z

dx ~ \ dz dz. Подставляя в уравне?ше (6), получаем

2+к2 8к = 0. (7)

Уравнение (7) не содержит в явном виде переменной z. Положим

= w.

dz Тогда

. du

и уравнение (7) принимает вид

du

Переменные разделяются, и z выражается с помощью эллиптического интеграла.

Линейное дифференциальное уравнение и-го порядка

6.2.7. Введение. Уравнение вида

+ Pz)+ +Pnz)y = f{z) (8)

называется линейным неоднородным уравнением -го порядка. Не существует никакого общего метода решения этого уравнения при > 1. В большинстве случаев решения уравнения (8) не могут быть выражены с помощью конечного числа элементарных функций.

Если правая часть (8) тождественно равна нулю, то уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид

+ ... +Р ()3-0. (9)

Пусть известны п частных интегралов у У2, .... у однородного линейного уравнения (9). Тогда общий интеграл этого уравнения

3 = С1У1 + С2У2+ ... +Су .

Если u{z) - частный интеграл неоднородного линейного уравнения (8). то общий интеграл этого уравнения

yCiyi + CjysH- 4-С у -Ьк(z).

6.2.8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лаграниа). Пусть известно п частных интегралов у у2, .... у однородного линейного уравнения (9). Покажем, как в этом случае определяется частный интеграл неоднородного линейного уравнения (8). Положим, что мы выбрали п таких функций

.Vi(z). V2(Z).....v (z),

y = V(Z)y,-j-V2{Z)y2+ . . . yv (z)y

отсюда

du du

не равен нулю. Это имеет место, если функции у у,, ..., у представляют собой линейно независимые частные решения однородного уравнения (9).

Тогда по правилу Крамера можно однозначно определить г v.....v.

Сами же функции v, v, , получатся с помощью интегрирования.

) Он называется определителем Вронского (вронскианом).

представляет собой решение неоднородного уравнения (8). Вычислим и предположим, что функции v удовлетворяют условию

;>iH-<>2+ о-

Найдем, далее,

У = + v,yl + -.. + + - гУ, + - 2+ - + <У; и наложим на функции v второе условие:

;>;+232+ н-уо-

Повторяя эти рассуждения еще п - 3. раза, мы придем к следующей системе п-1 линейных уравнений относительно v[, v, v.

Последовательные производные от у с учетом этих условий будут равны: / = ;,у,+г/2У2+ ... H-t;. -

Подставим эти производные в уравнение (8). Так как у ..., у - решения однородного уравнения (9), то имеем

i - + 23Г~ + + у / ()-

Это равенство - недостающее /г-е условие, необходимое для определения

Полученная система из п уравнений будет совместна при условии, чго определитель