|
| |
|
Главная
>
Управление конечномерными объектами управление конечномерными объектами Основным объектом, с которым нам предстоит иметь дело, будет матрица. Так называют прямоугольную таблицу, составленную из некоторых элементов. Эти элементы чаще всего обычные числа. Нам, однако, встретятся матрицы, элементами которых будут непрерывные функции, многочлены, матрицы. Будем обозначать множество чисел или объектов другой природы, из которого мы будем черпать элементы матриц, буквой К. Прежде чем приступить к изучению свойствматриц необходимо описать алгебраические свойства множества К. Алгебраическая операция. Пусть задано множество К объектов произвольной природы а, 6, с, . . ., которые мы будем называть элементами множества К. Мы скажем, что в множестве К определена алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов а, Ь из этого множества, взятым в определенном порядке, ставится в соответствие единственной элемент с того не адоадества. *) Знак © ставится в конце опреде.чения, доказательства теореьш и т. д. Алгебраическая операция может и пе обладать свойств вом коммутативности: если паре элементов а, b ставится в соответствие элемент с, то паре элементов Ь, а может оказаться поставленным в соответствие другой элемент d. Следует обратить внимание на то, что в определении алгебраической операции содер/кится требование однозначности и выполнимости операции для любых двух элементов множества К. Примерами алгебраических операций служат операции сложения и умножения на множестве целых чисел. Операция слон-сения, определенная на множестве нечетных чисел, не является алгебраической операцией, так как результат этой операции не принадлежит исходному множеству К, например, 1 -- 1 = 2 - четное число. Не будет алгебраической операцией и операция деления на множестве вещественных чисел, так как деление на нуль невозможно. Определение и примеры колец. Мы будем рассматривать множества с двумя алгебраическими операциями, которые мы будем называть сложением и умноневием. Вообще говоря, эти операции могут и не быть слонеиием и умножением в обычном смысле. Важно, чтобы обе они удовлетворяли определению алгебраической операции. Определение!. Множество К называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции - сложение и умножение, которые удовлетворяют следующим аксиомам: 1. Сложение коммутативно: й + 6 = 6 -f- й. 2. Сложение ассоциативно: а -\- {Ь с) ~ {а Ъ) -\- с. 3. Если а, Ь - элементы К, то уравнение а х = b разрешимо в К. 4. Умножение ассоциативно: {аЬ)с ~ а (be). 5. Операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности: а (6 -f- с) = й6 + ас, [Ъ с) а = = Ьа -{- ca,Q *) Обычно такое кольцо называют ассоциатиеным кольцом. Если умножение в кольце коммутативно: аЬ = Ьа для любых й и 6 из К, то кольцо называется коммуташив- rtttjn в коммутативном кольце второе из равенств аксио-IIII & является следствием первого. Ккажем примеры колец. 1. Простой пример числового кольца - множество jjUt чисел с обычными операциями сложения и умно-шая. Очевидно, это коммутативное кольцо. Множество целых положительных чисел не будет кольцом, так как не выполняется аксиома 3 определения кольца. 2. Рассмотрим множество К функций действительного переменного t, непрерывных на отрезке ?о i* Сум-н№ и произведение двух функций из К будут также непре-{швкыми функциями. Следовательно, сложение и умножение непрерывных функций будут алгебраическими операциями, определенными в К. Поскольку для этих опе->ацвй выполняются условия 1-5, множество К образует кольцо, притом коммутативное, так как умножение функций подчиняется коммутативному закону. 3. Все многочлены от одного переменного с произволь-шшя числовыми коэффициентами относительно обычных вйераций сложения и умножения многочленов образуют Э мутативное кольцо. 4. Ассоциативное, но некоммутативное, кольцо обра-tifwst все квадратные матрицы одного порядка с произвольными числовыми элементами (о сложении и умножении матриц см. § 2). 5. Все четные числа образуют кольцо относительно опе-рйщий сложения и умножения. СНюрации в кольце. Рассмотрим теперь простейшие свойства алгебраических операций в кольце. Начнем со следствий, вытекаюпщх из законов ассоциативности. Из а*их законов непосредственно следует, что произведение И сумма для любого конечного числа элементов кольца <шределяются однозначно и не зависят от первоначального ЗМИВвределения скобок. Например, можно говорить о про-иэведении четырех элементов кольца abed, так как все пять возможных способов вычисления этого произведения {(аЬ) с) d, [а {be)) d, а {{be) d), а {b {cd}), {ab) {cd) ДйЯИГ один и тот же результат. Действительно, каждое сле-Д;?Ю*Цее произведение получается из предшествующего не- Гбедственным применением закона ассоциативности 4. йсе, очевидно, справедливо и для операции сложения.
|
