получаемой после вычеркивапия из матрицы А i-u строки и /-Г0 столбца.

Докажем формулу (AM). Переставим i-ю строку матрицы на первое место. При этом придется выполнить (i - 1) перестановку строк. Значит, определитель умножится на (- 1) и алгебраическое дополнение элемента u-ij будет равно

A,j = (-1)-1 ( 1)-W - = {-фШ,.

Доказано следующее

Предложение 1. Для каждой матрицы А порядка п при произвольном i (1 i п) имеет место формула

ЫА= S i-ifanMij и при любом ] {1 ] п) - формула

Эти формулы называются формулами разложения детерминанта соответственно по строке и столбцу. Докажем еще справедливость формулы

2 aijAj - О при j 9 /с, (1)

которую словами можно передать так:

Произведение элементов любой строки определителя на соответственные алгебраические дополнения другой строки раяио пулю. Действительно, написанное выражение совпадает с детерминантом матрицы, у которой i-я и А.-Я строки совпадают и равны [a;i, а, . . ., а определитель такой матрицы равен нулю в соответствии со свойством 3. Аналогичная (1) формула справедлива и для разложения детерминанта по элементам произвольного столбца. Именно,

2 aijAik = О при кф}. (2)

9. Определитель полураспавшейся матрицы. Квадратная матрица называется полурас-паешейся, если ее можно разбить на 4 клетки так, чтобы на диагонали стояли квадратные матрицы, а одна из двух других матриц целиком состояла из нулей. Иначе говоря, матрица А - полураспавшаяся, если она имеет один из следук>п];их двух видов:

Предложение 2. Определитель полураспавшейся матрицы равен произведению определителей ее диагональных клеток.

Для матрицы 2-го порядка это утверждение очевидно, так как

012 ЯЦ О

fill

Считая утверждение истинным для матриц {п ~ 1)-го порядка, докажем, что оно верно и для произвольной полураспавшейся матрицы А. Пусть эта матрица имеет вид

А = [aij\ =

Л13 Л22

где и квадратные матрицы порядка s и г (s -Ь г =

= п). Разложим определитель матрицы А по элементам первого столбца:

\А\ = OiiMn ~ ауМг + . . . + {-ir+aM.у.

Так как все миноры Мц являются определителями полу-распавшихся матриц, то в силу индуктивного предположения они равны произведению определителей диагональных клеток этих матриц. Одна из этих клеток совпадает для всех миноров с матрицей Л23, другая - с мииором матрицы Лц, который мы будем обозначать Мц. Отсюда следует:

\А\ = аггМп Л,з ~ aiM 1 +.. .(-l)4i.i Лз! =

-M 1U.

ЛПНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

[гл. I

Следствие. Определители полу распавшейся клеточно-диагональной матриц вида .-All All... А,

О А22... А

Г Ли О

О Лаз

О п

равны произведению определителей диагональных клеток этих матриц.

Для доказательства следствия достатолно заметить, что последовательное разбиение этих матриц на 4 клетки сводит задачу к предыдущей.

Замечание 1. Определение детерминанта квадратной матрицы ГОДИТСЯ и для случая произвольного ассоциативного (не обязательно коммутативного) кольца. При этом остаются справедливыми, например, свойства 4, 5а), 9. Доказательство остальных свойств детерминанта по существу связано с коммутативностью кольца К.

Определитель произведения матриц. Справедлива

Теорема 1. Определитель произведения квадратных матриц (с элементами из коммутативного кольца К) равен произведению опреде.гителей этих матриц.

Доказательство. Пусть даны две квадратные матрицы А В порядка п. Тогда на основании свойства 9 определителей справедливо равенство

А\\В\

Выполним следующие преобразования над матрицей справа. Эти преобразования по свойству 5 не меняют величины определителя. К 1-й строке прибавим элементы (п -)- 1) строки, умноженные на Яц, элементы (п 2)-й строки, ум-женные на аз! иг. д., элементы 2 -й строки, умноженные на ащ- В результате получится матрица, у которой первые п мест первой строки будут заполнены нулями, а остальные п мест заполнены произведениями первой