системы точно известны и что на систему не действуют иомехи в процессе ее работы. Между тем конструирование регулятора невозможно без учета реальных условии применения системы, без учета характера помех и возмущений, действующих на систему. Удивительно, что структура линейного регулятора, наилучшим образом работающего при наличии помех, в точности совпадает со структурой регулятора, использующего п-мерный идентификатор состояния (теорема 1).

Приведем без доказательства соответствующие результаты.

Если в системе присутствуют помехи на входе и выходе системы, задача детерминированного управления заменяется стохастической задачей. Вместо рассматриваемой нами ранее линейной системы исследуется следующая система (рассмотрим стационарный случай):

X (t) = Ах it) -Ь Ь {t) + v{t)], у it) = сх {t) + w (t),

где V (t) и w (t) - соответственно аддитивная скалярная входная помеха и шум измерения вектора выхода. Помехи V и W предполагаются стационарными независимыми белыми гауссовыми шумами с пулевым математическим ожиданием, т. е.

Е {V) = 0; Е (ш) = О, Е {у {t) w {t + х)) = О,

it)vit-{-r)}=q8it), E{w{t), ш( + т)}-Рб(т),

где б дельта-функция Дирака, Р - симметрическая неотрицательно определенная матрица и q О, Е ( ) - математическое ожидание.

Если предположить, что матрица Р положительно определена, то оценка х () вектора состояния x(t) может быть построена в виде (подробности имеются в книге [24])

х(0 = AЯ(t)JrL[y{t)-eЯ(t)]-\-Ъu(t), х(0) = О,

L = Ko<iP-\

а Kq - единственное положительно определенное решение алгебраического матричного уравнения (уравнение Риккати)

АК (t) К {t) А - К (t) сР~ЧК (t) + qhh = 0.

X (t) - Ах (t) - ВК

xit)

Я{1) A£{t) -axrit) + Bn{t)

(см. теорему 2 § 26). Если теперь в этих уравнениях сделать невыронаденпуго замену переменных х (/) - х (t) - - X {t) точно так же, как это было сделано при доказательстве теоремы 2 § 26, то уравнения системы вместе

Более того, отот идентификатор асимптотически устойчив, т. е. собственные значения матрицы [а ~ Lq] имеют отрицательные вещественные части. Структура этого идентификатора (фильтра Калмана) в точности совпадает со структурой -мерного асимптотического идентификатора состояния (§ 25).

Выбор коэффициентов для асимптотического идентификатора Б детерминированном случае бьиг ограничен лишь условием асимптотической устойчивости матрицы [а - Lc], а Б остальном произволен. Уравнения фильтра Калмана однозначно определяют все коэффициенты идентификатора по данным о характеристиках помех в соответствии с выбранным критерием (минимум среднеквадратичной ошибки Оценки состояния).

Использование идентификатора Люенбергера. Резудьг-тат, аналогичный теореме 1, справедлив и для случая использования {п - /з)-мерного идентификатора состояния. Сначала докажем соответствующий результат для системы с одним выходом, когда идентификатор имеет размерность - 1.

Теорема 2. Пусть идентифицируемая и управляемая система с одним выгодом и, вообгце говоря, с многими входами задана матрицами {а, В, с}. Пусть, далее, матрица К выбрана так, что характеристический многочлен матрицы [а - ВК\ совпадает с желаемым фу (л), и пусть для этой системы построен {п - \умерный идентификатор состояния с характеристическим многочленом ц> {Ц = ~ + fiiX -г Pn-i- Тогда характеристиче-

ский многочлен замкнутой системы {2п - \)-го порядка равен произведению многочленов ф (Х) = фу (X) фи (X).

Доказательство. Обозначим через х (t) выход идентификатора. Этот вектор имеет размерность п - 1, Уравнения замкнутой системы имеют вид

С цепью обратной связи примут вид

x{t) = [A--BK]x{t)-\-[?]x{t), xit) - Ix{t).

Матрица этой замкнутой системы (2п - 1)-го порядка имеет вид

А-ВК: ?

Это - клеточно-диагональная матрица, и следовательно, ее характеристический многочлен равен произведению характеристических многочленов ее диагональных клеток, т. е.

Фо W = Фу МФй (Я), о

Если система имеет много выходов и является идентифицируемой, то, как показано при доказательстве теоремы 3 § 26, ее можно представить как прямую сумму подсистем, каждая из которых имеет один выход и много входов. Отсюда следует справедливость следующего утверждения.

Теорема 3. Пусть линейная система п-го порядка является управляемой и идентифицируемой и имеет р независимых выходов. Тогда можно построить цепь обратной связи {п - р)-го порядка, такую, что характеристический многочлен замкнутой системы {2п - р)-20 порядка совпадает с произвольным вещественным многочленом {2п - р)-го порядка. Q

Естественно, нас интересуют только асимптотически устойчивые многочлены, все характеристические числа которых имеют строго отрицательные вещественные части.

Пользуясь описанием идентификатора Люенбергера, приведенным в конце § 26 (рис. 26.4), можно легко доказать теорему о возможности раздельного выбора характеристических чисел идентификатора и системы, охваченной обратной связью по состоянию. Действительно, если выбрать в качестве переменных состояния системы {2п-р)-го порядка переменных {х ((),£(()}, то, пользуясь