Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [ 103 ] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

которые непосредственно следуют из доказательств нужных нам результатов. Заметим, однако, что решение задачи о регуляторе сводится к традиционным вычислительным проблемам линейной алгебры, методы решения которых интенсивно разрабатываются.

Задачи. 1. Для системы

*, (t) = Xi (t) + х (t) -\- и (t),

*2 (t) Ч it)

вычислить цепь обратной связм i-ro яорядка такую, чтобы замкнутая система имела следующие характеристические числа: к ~ -3,

-- if, Ягд - - 2i - ъ.

2. Для системы, приведенной на рис. 27.5, выберите цепь обратной связи 3-го порядка такую, чтобы система имела характеристические числа. Xi -1 -\- I, Яа = -1 - I. Лз - = -2, Хб = -3, Хе = Хт = -1. Числа Х-, Хе, Хт принадлежат идентификатору.

3, Двигатель постоянного тока имеет передаточную функцию

W{v)

Конструктор выбирает передаточную функцию замкнутой системы в виде

4000

i) ~ (рН-10)(р4-10)р4./Ш)-

Для оценки состояния возьмите фяльтр Калмаиа с собственными числами Xj = Xj = Хз = -20. Вычислите коэффициенты регулятора и нарисуйте его структурную схему.

4. Вычислите обратную связь по выходу для системы

0

такую, чтобы собственные числа замкнутой системы были: Х = -3, Хд = -3, Хз = -4. Вычислите матрицу обратной связи цр состоянию для тех ще условхш [76,

§ 28. Управленце отдельными модамн

Модальное управление можно определить иаи управление, которое изменяет моды (собственные числа матрицы системы) с целью достижения желаемых целей управлеиия. Ранее были рассмотрены регуляторы, которые обеспечивают управление всеми модами объекта. Часто управляемый объект имеет лишь небольшое число собственных



чисел, которые с помощью управления требуется сдвинуть в желаемые точки, оставляя остальные собственные числа без изменения. Тогда говорят об управлении отдельными модами объекта. Это управление, вообще говоря, проще вычислить и реализовать, чем управление, обеспечивающее возможность выбора всех характеристических чисел объекта. Такие задачи на практике часто возникают при управлении многомерными объектами.

Модальная управляемость. Для того чтобы существовало решение задачи о выборе управления, обеспечивающего изменение лишь некоторых собственных чисел системы при сохранении остальных собственных чисел, очевидно, не требуется, чтобы объект обладал свойством полной управляемости. Достаточно, чтобы он был модально управляем, т. е. допускал бы закон управления, изменяющий заданные моды объекта.

Пусть Гд = {Xi, - - . , A.g}, q п,- произвольный набор комплексных чисел, в котором каждое число присутствует вместе со своим сопряженным. В дальнейшем буква Г будет обозначать только наборы чисел, обладающих этим свойством. Назовем систему х [t) = Лх {t) -Ь + Вп (О у (О = Си. {t) (ЛС) модально управляемой по отнощению к набору Г, если существует матрица обратной связи К такая, что q собственных чисел матрицы [Л - ВК\ совпадают с числами набора Г. Матрицу К в этом случае называют матрицей модальной обратной связи или модальным регулятором.

Если q = п в. система (ЛС) модально управляема по отношению к произвольному набору чисел Г, то (ЛС) называется полностью модально управляемой.

Предложение 1. Если существует базис в пространстве состояний, в котором система (ЛС ) не является полностью модально управляемой, то (ЛС) не является полностью модально управляемой.

Доказательство. Пусть х {t) = Лх (t) + + Ви {t) не является полностью модально управляемой, а та же система, записанная в другом базисе пространства

состояний X (£) == Л1Х (t) -f- BjU (t), полностью модально управляема. Тогда векторы х (() их (<) связаны неособенным линейным преобразованием х Рх. Поэтому Л P~ЛlP, В в P~Bi, и значит, матрицы Л и Л подобны. Поскольку пара {Лц Bi) полностью модально уп-



равляема, то существует матрица Ki такая, что собственные значения [А - ВК] совпадают с Г , где Г - произвольный набор комплексных чисел. Далее, мы имеем X (О = [Л - BKiP] X (t) = [Ai - BiKj] Рх, и значит, матрица [А - ВКх] подобна матрице \А - ВКР], и поэтому пара {А, В) полностью модально управляема. Полученное противоречие доказывает теорему. О

Для управляемой системы с одним входом справедливо

Предложение 2. Если пара {А, Ь] управляема, то она и полностью модально управляема и соответствующий модальный закон управления единствен. Q

Понятие полной модальной управляемости эквивалентно понятию управляемости. Об этом свидетельствует

Теорема 4. Пара матриц {А, В} управляема тогда и только тогда, когда она полностью модально управляема.

Д оказательство. Предположим, что пара {А,В} полностью модально управляема, но не управляема. Тогда существует базис в пространстве R такой, что одна из компонент вектора состояния представима в виде Xi = = kiXi, где ki - собственное значение матрицы А (см. задачу 1). Поскольку уравнение для Xi не зависит от управления и от других переменных состояпия, то собственное значение ki нельзя изменить с помощью выбора матрицы обратной связи К. Отсюда следует, что система не является полностью модально управляемой, что противоречит первоначальному предположению. Мы доказали достаточность. Необходимость сразу следует из результатов § 23 (теорема 1). Q

Управление одной и двумя модами. Теперь обсудим конструктивные методы построения модального управления, т, е. технику вычисления таких обратных связей, которые обеспечивают сдвиг некоторых собственных значений матрицы А в желаемые точки комплексной плоскости. Такая техника полезна при решении таких задач, когда объект не является управляемым, но модально управляем и может быть стабилизирован с помощью модальной обратной связи. Кроме того, часто и для управляемого объекта требуется построить такую обратную связь, которая смещала бы лишь некоторые моды этого объекта в заданные точки. При решении этой задачи можно воспользоваться общими алгоритмами (§ 23). Однако при



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [ 103 ] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139