таком подходе сложность решения задачи неизмеримо выше, так как даже при сдвиге всего одного собственного значения приходится иметь дело с обрагдением матриц полной размерности п.

Пусть линейный объект является модально управляемым по отношению к вещественному собственному значению kl. Рассмотрим задачу выбора обратной связи, обеспечивающей сдвиг к- к* и оставляющей неизменными остальные собственные числа объекта. Выберем в пространстве состояний такой базис, чтобы матрица объекта Л имела треугольную форму. Итак, пусть

i(0 = Ах (О + Ви (О,

Выберем матрицу обратной связи К размеров т X п вида

Тогда матрица замкнутой системы будет

Здесь через обозначены вектор-строки матрицы В, - первый ненулевой столбец матрицы обратной связи К, Так как мода ki управляема, то найдется вектор kj такой, что <ki, bi> Ф 0. Если выбрать ki нз условия

1 - <bi, ki> = kl,

то получим желаемый сдвиг собственного значения ki при неизменных остальных собственных значениях маг-

рицы А. Вектор в общем случае системы с миогимп входами не единствен.

Аналогичную процедуру можно построить для выбора модального регулятора, обеспечивающего сдвиг двух собственных управляемых чисел объекта при неизменных остальных модах. Рассмотрим такой алгоритм для случая

сдвига двух корней Я, Яа к желаемым значениям Я1, Я-Пусть система (1) имеет управляемые собственные числа Я, Яа, вещественные и различные. Выберем {т X )-матрицув виде К = [kj, к. О, - - .,0], где к, kg - первые два столбца этой матрицы. Тогда матрица замкнутой системы будет иметь вид

[А - ВК] -

Я1~ <bi, kz> <bi, ка)

<Ьз,к1> Яа~ <Ьг,кг>

Характеристический многочлен этой клеточно-диагональной матрицы равен произведению характеристических многочленов клеток, стоящих на диагонали,

det [Я А -f ВК] = det {IE - Ац] det [Я - А] = = det [Я - Ац] (Я - Яз) (Я - Я ... (Я - Я ).

Для того чтобы этот характеристический многочлен имел желаемые собственные числа Я, Я, необходимо потребовать, чтобы

det [КЕ - Ац] = (Я - Я1) (Я - Я3) = Я - (Я -Ь Яз) Я -Н ЯЯ.

Это дает уравнение для векторов к, к:

[Я - Я1 <bi, ki>l [Я - Я <Ь2, к2>] - <bi, кз) <Ь ко =

= я - (я1 + я1) Я + я;я

Будем искать векторы kj, kg в виде к = Sk , i = 1, 2, где ко - постоянный вектор, удовлетворяющий условиям <bi, ко) ф О, <Ьз, ко> ф 0. Обозначим: = <bi, к ), 2 - 02, ко)-. Тогда уравнение относигельно 5j, примет

% - Ул - u)3i

X - Xi - бфз

= det

Х - Xj О

х-х:

Если приравнять коэффициенты многочленов в обоих частях этого равенства, то получим пару нелинейных уравнений относительно Ь, 6,. Эти уравнения можно, однако, свести к линейным следующим образом;

X - Xi - 6i3i - 63З1

= det

1 X - Хз - бара.

- Xi - - бЗз

-Ь deL

X - Xi

х - Хз

Умножим вторую строку первою определителя в правой части этого равенства на piPa и вычтем из 1-й строки. Тогда получим в правой части равенства выражение

X- м

X-Xi-fiipi -6 О X- Xi

и уравнение (2) сводится к такой линейной системе:

Определитель этой системы

?1 Зз Xi3i Xi0i

в силу предположения Ф Х. Таким образом, нужные числа 5, всегда найдутся.

Алгоритм вычнсленпя модального регулятора К, обеспечивающего сдвиг двух управляемых мод системы, состоит из следующих шагов.

1. Выбираем базис в пространстве состояний, в котором матрица А имеет треугольную форму и первые два места на главной диагонали заняты сдвигаемыми модами Х-, Хч-

2. Выбираем постоянный вектор к , так, чтобы <ко, bi> Ф О, <[к , Ф О- Это можно сделать потому, что пара мод Xj, Х3 управляема.

3. Вычисляем коэффициенты 5i, б, решая линейную систему (3). Существование нужных б, 62 обеспечивается том, что Xi Ф Ха-