Замечание!. Мы рассматривали простейший случай различных вещественных корней. Если корни - комплексные, то процедура сохраняется. При этом, однако, следует иметь в виду, что матрица перехода к базису, в котором матрица системы имеет треугольный вид, будет комплексной матрицей, и удобнее проводить все вычисления, имея в виду первоначальный базис системы. Если при применении модального регулятора комплексные числа объекта входят в набор по-прежнему вместе с сопряженными, то замкнутый объект будет по-прежнему физически реализуем. Д.тя вычисления .модального управления, которое обеспечивает сдвиг первых двух собственных значений, необходимо знать лишь эти собственные значения и соответствующие им собственные векторы.

Замечание 2. Для системы с многими входами обратная связь, обеспечивающая сдвиг одного или двух собственных значений, не единственна. Может существовать бесчисленное множество векторов к, удовлетворяющих нужным требованиям. Выбор единственного к из этого множества может быть основан па соображениях оптимальности по какому-либо критерию, чувствительности системы по отношению к изменениям параметров, оценки стоимости управлений по разным входам и т. п. Иногда вектор к(, целесообразно выбирать таким, чтобы обеспечить минимальное значение коэффициентов усиления в цепи обратной связи.

Итерационное построение модального управления. Можно попробовать реализовать закон управления, сдвигающий I собственных значений в желаемые точки, последовательно применяя обратные связи, которые обеспечивают на каждой итерации сдвиг лишь одного-двух корней, оставляя неподвижными остальные корни системы. Общая обратная связь получается объединением обратных связей, вычисленных иа каждой операции.

Рассмотрим систему с различными собственными значениями

X (t) = Ах (t) Ч- Ви (t),

записанную в таком базисе, в котором матрица А - треугольная. Первый шаг итерационной процедуры будет состоять в применении закона управления и (t) = К(х (t) такого, чтобы оп сдвигал пару собственных значений

11 Ю. Н Андреев

Хц Х2 к значениям Xi, соотвегственно. Подставляя эту обратную связь в уравнение системы, получим систему к (t) = АО-) X {t) + Вм {t), где = Л - £ii:ci). Доду. ченную систему снова можно привести к такой форме, чтобы матрица А) была бы треугольной. Предполоним, что это преобразование выполнено, тогда на диагонали

матрицы А< стоят собственные числа Я, Х, . . ., Х . Если полученная матрица А(> отвечает предъявляемым

Рис. 28.1.

требованиям, то выбор обратной связи закончен. В противном случае выбираем модальную обратную связь К> так, чтобы А() - ~ Bl А()] имела бы, например,

собственные значения Я-д, Я, совнадающимн с числами Яз, Я4, а остальные собственные числа неизменными. Подобная итерационная процедура может быть продолжена, причем на каждой итерации некоторое число собственных чисел будет изменяться. После / шагов система будет иметь уравнение

Графическое изображение этой процедуры представлено на рис. 28.1.

1 1 1 1 1 1 t t t

Ясно, ЧТО в таком рекурсивном алгоритме каждый шаг, да и все / шагов, легче осуп1;ествить, чем провести один шаг, сдвигающий сразу / мод объекта. Трудности вычислений эксионеициально растут при увеличении числа корней, сдвигаемых одновременно. Поэтому удобнее всего работать одновременно с одним или двумя собственными значениями. Если сдвигаемое собственное значение - действительное, то можно использовать шаг в итерационной процедуре, обеспечивающий сдвиг только одного собственного значения. Если же сдвигаем одновременно два собственных значения, то можно изменять как действительные, так и комплексно-сопряженные пары собственных значений.

В заключение этого параграфа заметим, что хотя управление отдельными модами и требует меньше вычислений, но приведенные алгоритмы можно реализовать лишь при наличии Xj. Если же моды, которыми мы хотим управлять, не известны, то ио-прежнему требуется решение системы линейных уравнений п-го порядка, и трудности вычисления управления, сдвигающего одну моду, эквивалентны трудностям при вычислении управления, сдвигающего все моды системы. Поэтому основная область применения управления отдельными модами,- это объекты, для которых известны нежелательные моды и требуется построить модальный регулятор, изменяюпщй только эти моды объекта и оставляющий неизменными все остальные моды. Вопросы управления отдельными модами рассмотрены в Ире ди сложении, что все переменные состояния могут быть измерены и поданы на вход в виде обратной связи. Если это условие не выполняется, то необходимо строить оценки состояния, как это сделано в гл. V. Теория модального управления может быть применена и в этом случае. Подробности можно найги в работах 181, 84].

Задачи. 1, Докажите, что пара {А, В) управляема тогда и Только тогда, когда не существует базиса в пространстве такого, что одна из компонент вектора состояний представима в виде ±i (t) ~ = (), где ki - собственные значения матрицы А.

2. Для управляемой системы х (i) = Ах (t) Ви где А = = - Е,