выберите модальную обратную срязь, прп которой аачкнутая система имеет матрицу

Г-4 О О А = о ~1 О О О -1.

3. Для системы, ириведенной в задаче 4 § 26, выберите модальную обратную связь, при которой пара собственных значении матрицы А станет Х = Xg - -3, при сохранении неизменными остальных собственных чисел системы.

4. Пусть вещественная матрица А имеет п различных собственных чисел Xi, ig -1 и пусть v, Vg, соответствующие собственные векторы. Постройте алгоритм сдвига I <i п собственных чисел матрицы А к желаемым значениям Х, Х.....Яр предположив, что пара {А В] управляема.

§ 29. Интегральная обратная связь

Мы рассматриваем конструирование систем управления на основе линейной модели. Эта модель, как правило, пе точна. Неточности могут быть следствием допущений, сделанных относительно теоретических положений о процессе, следствием линеаризации уравнений нелинейной модели, могут возникать из-за ошибок в задании параметров процесса и по другим причинам. Кроме того, управляемые процессы часто подвержены влиянию возмущений, которые нельзя измерить. Чтобы добиться нечувствительности по отношению к внешним возмущениям и к ошибкам модели, в промышленных регуляторах всегда присутствует интегральная обратная связь. Для улучшения характеристик систем управления часто используется управление по возмущению. Здесь будут рассмотрены эти способы управления с точки зрения пространства состояний объекта.

Если не все неременные состояния доступны для измерения, то регулятор содержит динамическую систему - идентификатор, цель которой состоит в оценке переменных состояния, не доступных для измерения. Этот идентификатор обеспечивает наличие интегральной обратной связи. Однако из теории автоматического регулирования известно, что для исключения статической ошибки даже в объекте первого порядка, например, имеющем уравнение

Матрицы этого объекта -a О

с = И 1]. (1)

уже требуется наличие интегратора в обратной связи. Вместе с тем, если у этого объекта измеряется иеременная {) У (0> то, казалось бы, для восстановления состояния не требуется идентификатор и для обеспечения желаемых динамических свойств замкнутой системы достаточно стационарной обратной связи. самом деле это не так. Коль скоро имеются неконтролируемые возмущения, действующие иа объект в процессе регулирования, то состояние объекта х (t) вместе с управлением и {t) ие достаточны для предсказания выхода в будущем из-за наличия помехи. Чтобы можно было по-прежнему решать задачу регулирования в рамках схемы: состояние - идентификатор состояния - обратная связь ио состоянию , необходимо ввести фиктивные переменные состояния, которые содержали бы информацию о помехе.

Аддитивная помеха в канале измерения. Рассмотрим простейший устойчивый объект 1-го порядка

±{t) = ~ ах (t) -J- и (t).

Пусть перемеиная состояния этого объекта измеряется с постоянной ошибкой Д- В этом случае уравнение наблюдения имеет вид

у (t) = X (t) + Д (t), А (t) = const.

Если использовать обратную связь по выходу и (t) = = - ку {t)y то замкнутая система будет содержать статическую ошибку. При t-*- оо имеем - ах (t) - к(х (t) +

-(- Д) = О и, следовательно, x(t) - --тФ- Таким об-

разом, хотя объект - 1-го порядка, но его переменная состояния X {t) ие доступна для измерения, и для того, чтобы восцользоваться иреимущесгвами обратной связи ио состоянию , необходимо построить динамическую систему дЛя оценки X {t). Введем новую иеременную состодния

Д (О с. уравнЕШем А {t) = 0. Тогда уравнения объекта примут вид

A{t)--ax{t) + u it), A (t) - О, y{t)=x (t) + Д (t).

Заметим, что пара {А, Ь} неуправляема, но пара {А, с} идентифицируема, поскольку {А\ с} управляема. Действительно,

и = Ic Ас] =

и ранг и = 2. Построим идентификатор Люенбергера для оценки состояния этого объекта 2-го порядка. При этом воспользуемся заменой неременной (см. § 26, формула (12)). Пусть

zit) (t) -h гд (t), y{t)=x (t) + Д (t).

тогда

и при I Ф i матрица P - неособенная. Вычислим

1 I -I

P- =

1 - / t

L 1 -/

и построим идентификатор для переменной z (t). Тогда оценки переменных состояния имеют вид

Теперь необходимо преобразовать матрицы [Л, Ь} с помощью матрицы Р. Это преобразование дает

РЛР- =

г-а О

,1 IJL О 0.

1 -/

1 -/ J

-а 01 - а О