ПЙТеГрАЛЬМАЯ. ОЁРАТЙАЯ CEl-Tb

Следовательно,

~ п . If!

Уравнение идентификатора для переметши z (t) в соответствии с формулой (13) § 26 имеет вид

kt) = - jz{t) + z{t) + и{). i(0) 0.

Теперь, используя оценку переменной состояния ж () можно построить обратную связь вида и (t) = - 1,7 (/) Обгций вид уравнений замкнутой chctcmi.i гаков:

£{t) = -ax{t)-{ u{t),

2 (О = - т=т + У + f

y{t)x{t) + A, x{t)-l{t)-~y{t), u{t) = -kz{t).

Структурпая схема замкнутой системы представлена яа рис. 29.1. Ее собственные числа равны собственному

u(t)

PescfMiTfOp

z(t)

Рис. 29.i.

значению идентификатора Xj = и собственному значению объекта, охваченного обратной связью ио состоянию 2 = - а - &. При к - а, < 1 замкнутая система устойчива.

Ss ыоДалЬное Упраёлёние 1ГЛ vi

Вычислим передаточную функцию полученного регулятора. Она имеет вид

1 М

уравнение регулятора получено без привлечения каких бы то ни было дополнительных инженерных соображений о виде его передаточной функции. В рассуждениях использованы только следующие понятия: состояние, обратная связь но состоянию, идентификатор состояния.

Замечание. Хотя рассматриваемая система и имеет второй порядок, переменной д не соответствует в этой системе никакой динамический элемент. Поэтому выбираем обратную связь только по переменной х (t), используя полученную для этой перехменной оценку х (t). Можно рассуждать по-другому. Система (1) является неуправляемой, но она модально управляема по отношению к переменной х (t). Поэтому выбираем обратную связь по состоянию (а значит, используем информацию об обеих переменных состояния х (t), д (t)) такую, чтобы первое собственное значение объекта имело бы заданное значение.

Постоянное возмущение на входе. Рассмотрим тот же устойчивый объект 1-го порядка при наличии аддитивной помехи на входе объекта. Уравнение объекта в этом случае имеет вид

£ (t) ~~ ах (О + и (t) -\- Д, y{t) = x (i).

Обратная связь вида и (t) = - ку (t) не избавляет от статической ошибки и в этом случае. Поступим аналогично тому, как было бделано выше. Введем аюьую яеременую

состояния с уравнением А (t) = 0. Тогда система 2-го порядка

Д( ) = 0, y{t) = x{t).

О О

[1 О!

ПОЛНОСТЬЮ идентифицируема. Построив идентификатор состояния этой системы, можно, как и раньше, получить требуемую интегральную обратную связь. Однако нетрудно видеть, что в этом нет необходимости, поскольку эта задача эквивалентна предыдущей. Достаточно привести помеху на входе системы к выходу.

Рассмотрим иевырождеиное преобразование переменных: Z (t) = X (t) ; А (t) = А (t). Матрица этого нреобразования имеет вид

1 -1

р-1 =

1 1 1 -

О 1

Согласно общему правилу, преобразуем матрицы {А, Ь, с} по формулам: А : = РАР, Ъ: = РЪ, с : = = Р~ с. В новом базисе матрицы системы примут вид

- а О

Эта система имеет уже единственную помеху на выходе, и регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость для этой системы, совпадает с приведенным на рис. 29.1. Поскольку невырожденная замена иеременной не изменяет соотношения между входом и выходом системы (не меняет передаточной функции объекта), задача выбора регулятора решена для случая аддитивной помехи на входе.

Замечание. Нетрудно видеть, что выбор иеремен-иых состояния при наличии помех не является однозначным. В рассмотренном примере в качестве иеремеииых состояния можно взягь пару {х (f), х (t)}, или пару {х (t), и (t)}, или {у (t), X (t)}, или линейные комбинации этих переменных.

Интегральная обратная связь для многомерного объекта. Рассмотрим многомерный случай. Пусть уравнения линейной стационарной системы представлены в виде

x{t) = Ax{t)-\-Bu{t), y{t) = Cx{t)DA,

где Д - вектор г X 1, а D - матрица р X г, а - произ-Врльиый вектор постоянного возмущения при измерении,