Мы рассматриваем по-прежнему детерминированный случай. Потребуем, чтобы система удовлетворяла условиям асимптотической устойчивости по отношению к выходу, т. е. у (00 при f -> оо и, кроме того, х (f)О при t оо. Вектор помехи А мы считаем неизмеримым. Пусть (р X п)-матрица С имеет ранг р а. р т, где т - размерность вектора и (t). Будем предполагать, что все уравнения рассматриваемой системы линейно независимы. Если это условие не выполняется, то можно понизить порядок системы, исключив ее линейно зависимые уравнения. Введем новый вектор состояния z (t) = [х(0, у(0] новое управляющее воздействие по формуле v {t) = ~ U {t). Дифференцируя исходное уравиепие системы X {t) ~ Ах (t) -h Ви (t), получим следующую систему уравиений относительно переменных состояния z (t):

z{t) = Az{t)-\Bu{t), Гх (0)

A 0 С 0

в LOJ

Поскольку no предположению матрица С имеет ранг р, то матрица в уравнении (2) имеет полный ранг /г -(- р и Z (0) может быть любым вектором в области значений этой матрицы. Наша задача относительно переменной z {t) заключается в том, чтобы обеспечить z О при t оо

из любых начальных состояний z (0). Эти условия могут быть выполнены, если пара {А, В) управляема, а матрица Л ВЛ г т.

имеет полный ранг п-\- р. Более того, в этом случае

мы можем произвольно выбирать динамику замкнутой системы за счет выбора стационарной обратной связи по состоянию Z {t) вида V {t) = Kz (t). Поело перехода к прежним координатам получим равенство

Y{t)=u{t)Kix{t)-Ky{t),

А О-

z{t)==Az{t) + Bv{t), где = qJ = [о J

является управляемой тогда и только тогда, когда: 1) пара {Л, В} управляема, 2) матрица

имеет ранг

п \- р. В этом случае с помощью обратной связи вида V {t) = Къ {t) замкнутой системе можно придать произвольные динамические свойства. Если обратная связь Y{t) = Къ {t) выбрана так, что многочлен ф (Я) = - yjv 4- aiX +P~i + . . . + an+p = О является характеристическим многочленом [п -\- р)-го порядка замкнутой системы, то этот многочлен будет характеристическим многочленом системы

x(0 = Ax(0 + Su(0, у(0 = Сх(0 + 1 А,

охваченной интегральной обратной связью вида

и (t) = Kix (О + 5 у (t) dt + А-2у0. о

Если многочлен ф (Х) устойчив, то выполняются условия у (t) 0, x{t}0 при i оо. О

Таким образом, закон управления, обеспечивающий замкнутой системе заданную динамику, можно рассчитать, рассмотрев вспомогательную систему (4), Очевидно, этот подход аналогичен тому, который был рассмотрен

интегрируя которое, вычислим искомое управление

U (О = Кгх {t) + 5 у {t) dt + iCayo, (3)

где Уо - вектор начальных условий, задаваемых на р интеграторах. Обычно уо = 0.

Управление, как, впрочем, и в одномерном случае, не использует информацию ни о векторе возмуп1,ений Д, ни о матрице D. Эти сведения нужны лишь для формирования начальных условий согласно уравнению (2). Наши рассуждения сформулируем в виде теоремы, доказательство которой оставляем читателю. См. также [59, 60].

Теорема 1. Линейная стационарная система

А В С 0.

и Я =

размеров (тг -f /)) X (тг -г т), {п р) X г соответственно и предполоним, что ранг матрицы N равен тг Н- />. Определим (тг -f / )-мерный вектор равенством

= - [NHA],

где через iV обозначена матрица N+ = [iViV]~W. Поскольку N имеет ранг (тг -f р), то {п р) X (п р)

при исследовании возмущений в системах 1-го порядка. Разница в том, что там мы брали в качестве новых переменных состояния выход у (t) и линейную комбинацию X (t) п а (t), а здесь берем к (t) и у (t). Но зная х (t) и у (t), можно вычислить Д и X (t). Если ие требуется выбирать динамику замкнутой системы, а необходимо лишь стабилизировать эту систему, то вместо требования управляемости пары {Л, В} достаточно требования модальной управляемости по отношению к ее неустойчивым модам.

Управление но возмущению. Если помеха доступна для измерения, то задача управления существенно упрощается. Начнем со скалярного случая. Пусть

X (t) = ах (t) + и (f), у (t) = X (f) Н- Л

и помеха Л измеряется. Тогда управление вида и (t) = = -ку {t) 4- /сД, А: О, обеспечивает стабилизацию системы, поскольку

и (t) = -к [х (t) Н- Л] + кА = -кх (t)

и мы имеем обратную связь по состоянию. Управление в присутствии помехи сводится к управлению без помехи с помощью вычитания измеряемого сигнала помехи из выходного сигнала. Чтобы выполнить такое вычитание в матричном случае, необходимо провести некоторые преобразования координат в пространстве состояний. Итак, пусть

X (t) = Ах (t) + Ви {t) + FA, y{t) = Cx{i)-DA,

и помеха Л измеряется. Введем в рассмотрение матрицы