равен п р, где р -

матрица NN обратима. Рассмотрим теперь преобразование Переменных z = x - х, v = u - и. Заметим, что Z и V равны отклонениям от требуемых конечных значений переменных состояния и управляющих переменных соот-ветствеппо. Проведя это преобразование переменных, получим

z(0)x(0)-i, где векторы и определены равенством

4il (£ iViV+] ЯЛ.

Требование х (О О и у (f) О при t -у оо для исходной системы уравнений эквивалентно требованию i (t) О, У (t) О при t оо для преобразованной системы. Эти условия будут выполнены в том случае, если пара {А, В} управляема и векторы и равны нулю. Последнее условие эквивалентно требованию NNH = откуда NN = Е. Управляющее воздействие вида v (t) = Kz (t) обеспечивает в силу управляемости пары {А, В} желаемые динамические свойства замкнутой системе. Возвращаясь к исходным координатам, получим управление и (t) в виде

й (t) =: Кх (t) [К - E]N+H\,

где N+ = INN]~N. Это управление содержит измеряемую помеху Д. Проведенную схему вычислений суммируем в виде следующего результата, доказательство которого оставляем читателю.

Теорема 2. Если в линейной стационарной системе (5) вектор возмущения Д измеряется, то системе можно придать произвольные динамические свойства с помощью обратной связи вида

u{t) Кх (t) + [К - Е] [NNVNA

в том и только в том случае, когда

1) пара {А, В) управляема,

2) ранг матрицы q число линейно независимых выходов системы. Q

имеет помеху в канале измерения

у it) = сх (г) Н- Д [t).

Можно ли придать этой системе произвольные диналгаческие свойства с помощью соответствующим образом подобранного регулятора, если неконтролируемое возмущение Д (/) имеет вид Д (/) = = sin (Of? Зависит ли результат решения задачи от частоты возмущения Ц)?

6. Определите, каков минимальный порядок динамической обратной связи, квторая позволиет получить произвольное

Таким образом, условия существования требуемого управления по возмущению прн измеримых возмущениях совпадают с условиями существования управления в виде интегральной обратной связи при неизмеримых возмущениях.

Поскольку система с управлением по возмущению чувствительна к ошибкам измерения и к вариациям параметров объекта, то на практике комбинируют управление по возмущению (которое позволяет быстро реагировать па значительные помехи) и управление в виде интегральной обратной связи (которое обеспечивает астатизм системы даже по отнощению к малым неконтролируемым возмущениям н улучшает характеристики чувствительности системы по отношению к вариациям ее параметров).

Задачи. 1. Получите уравнение интегральной обратной связи в примере 1, приняв в качестве переменных состояния (х (г), U (/)) и (Х (/), X (t)).

2. Рассмотрите объект

(0= ~ax{i)-i- Ai-h и it),

где Д,, - некоторые неизвестные постоянные. Сконструируйте регулитор так, чтобы при t -> оо л (t) ->. О а у (t) 0. Какое минимальное число динамических элементов должен содержать такой регулятор?

3. Для объекта 2-го порядка £ [t) х (/) = и (t), у (t) = = я (/) -- Д, где Д - постоявная неизмеримая помеха, выберите регулятор, Который обеспечивает выполнение условий ± (t) -> О, у [t)-* О при любых д. Каков минимальный порядок этого регулятора?

4. Для задачи 3 рассмотрите возмущение вида Л (t) = sin со/, где а ~ некоторая постоянная.

5. Линейная стационарная система

с = [О 1 01

размещение полюсов линейной системы

1 0 0 0 0 о 1 о G о

§ 30. Модальное управление распределенной системой

Рассмотрим примеры модального управления распределенной системой для случаев, когда задача управления распределенной системой сводится к задаче управления конечномерным объектом.

Аппроксимация распределенной системы с помощью конечного числа мод. Рассмотрим простейшее уравнение теплопроводности

о<г<1, i>o, (?(/,0)= (?о(0 (1)

с граничными условнямн

= 0,

= -[u{t)~Q(i,t)]. (2)

Это уравнение описывает, например, температурное ноле в тонком стержне единичной длины и единичного сечения, теплоизолированном с боковых поверхностей и с одного торца 1 = 0. и (t) - температура нагревателя, расположенного у торца стержня I = i. Тепловой поток при I = i пропорционален с коэффициентом р разности температур нагревателя и торцевой поверхности стержня. Известно, что решение задачи (1), (2) можно представить в виде [8]

где Хп {t} являются решениями уравнений

%() = - [1пЖ (0 + Vluit), тг = 1, 2,...,