строки матрицы Л па столбцы матрицы В, Теперь в подученной матрице аналогичные операции проделаем со 2-Ej 3-й, . . ., п-й строками, чтобы получить равенство

А\\В\ =

Чтобы привести этот определитель к полураснавшемуся виду, меняем местами 1-й и (п. + 1)-й 2-й и {п + 2)-й, ... . .п-й и 2;г-й столбцы. В результате получим равенство

Заметим, что верхняя ненулевая клетка совпадает с матрицей АВ. Вычисляя определитель полу распавшейся матрицы, получим требуемое утввря{дение:

1А\\В{ = (-1) АВ\\АВ1 Q

Результат теоремы естественным образом распространяется на любое конечное число матриц. Например,

I ABC \ = \АВ{[С{ = \А\\В\{С\.

В частности, для любой матрицы А

\A\ = \Af (/с = 0,1,2,...).

Поскольку транспонирование не меняет определителя матрицы, справедливо тождество

\А\\В\=\АВ\ = \АВ\ = \АВ\\ АВ \.

Вычисление обратной матрицы. Воспользуемся теперь введенным понятием определителя для изучения свойств обратной матрицы.

Пусть Л - квадратная матрица. Заменим в матрице А каждый элемент его алгебраическим дополнением и полученную матрицу транспонируем. Получившаяся в результате матрица называется присоединенной для А и обозначается А*. Итак, по определению Л* = [Ajj У, где Afj - алгебраическое дополнение элемента a,j. Из этого определения следуют важные соотношения

АА* = А*А = \А\Е,

где Е - единичная матрица. Действительно, на диагонали матриц АА* и А*А будут стоять члены вида

2 CiiAij, равные определителю [ Л по свойству 8 опре-

делителя. Все остальные элементы этих матриц будут нулями Б соответствии с формулами (1) и (2) свойства 8 определителя.

Докажем теперь георему о существовании обратной матрицы.

Теорема 2. Квадратная матрица А с элементами из коммутативного кольца К с единицей тпогда и только тогда имеет обратную матрицу с элементами из К, когда определитель А ) обратим в кольце К, Если обратная матрица существует, то ее определитель равен обратной величине определитпеля заданной матрицы.

Необходимость. Пусть для А существует обратная матрица А~ с элементами из кольца К, Тогда по теореме 1 имеем

\AAi\\A \ \А\\Е\ = 1.

Отсюда следует, что элемент кольца j А \ имеет обратный именно [ Л 1 * = [ Л~\, и этот обратный элемент тоже принадлежит кольцу К, так как обратная матрица состоит из элементов кольца К.

Достаточность. Пусть определитель А j имеет в кольце К обратный I А ~. Тогда, умножив равенство

АА* =А*А = \А \Е

слева на А ~, получим

I А р1 АА* = I Л I -А*А = \А\-\А\Е = Е, откуда следует, что

А- =\A\~ Л*. О

Следствие. Матрица А с элементами из некоторого поля имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. О

Доказанная теорема, таким образом, утверждает, что для каждой квадратной матрицы Л, определитель которой обратим в кольце, существует обратная матрица А , элементы которой bij вычисляются по формуле

где Aji - алгебраическое дополнение элемента Uji матрицы А.

Пример 1. Б кольце целых чисел только элементы + 1 и -1 имеют обратные. Поэтому целочисленная квадратная матрица тогда и только тогда имеет обратную целочисленную матрицу (т. е. обратную матрицу с элементами из кольца целых чисел), когда определитель заданной матрицы есть либо либо -1.

Пример 2. Рассмотрим систему линейных уравнений

11 it) -1 (t) + 13 (t) 2 (t) = h [t), <h\ (t) 2 (i) + 22 {t) 2 (t) h (t),

коэффициенты которой являются элементами кольца функций, непрерывных иа отрезке [t, ty\. Матричная запись приведенной системы имеет вид

А {t) x{t) =Ъ (t).

Элемент кольца непрерывных функций / (f) имеет в этом кольце обратный в том и только в том случае, если f {t)=jbO ни в одной точке tot ty. По доказанной теореме данная система уравнений имеет непрерывное решение тогда и только тогда, когда \ А {t) \ Ф О яи в одной точке 0 f ti- Рещение запищется в этом случае в виде

X it) = А- (О b (О-