а числа Цп ~-~ корни характеристического уравнения р = 6 ctg р. Формально систему уравиений (3) можно записать в матричной форме

X (О - А% {t) + Ьи (О, X (0) = Хо, (4)

где А - диагональная матрица бесконечной размерности:

А = diag р?, -pi, . . -Рп, . .1, х (t) =

= ti (t), Ч [t). . . .], b it) = Ip?, pL - . ].

Часто с целью расчета практически приемлев-шх законов управления рассматривают лишь первые несколько мод системы, считая, что прп болыпих п вклад членов An cos \ilxn {t) исзначителеп [8, 91. Это может быть оправдано тем обстоятельством, что переходная матрица бесконечномерной системы (4) имеет вид

Ф( 0) = diag [fi- !*, e-l,...],

а числа р согласно характеристическому уравнению удовлетворяют неравенствам {п - 1) Ji: Рл пп, и следовательно, величина р быстро возрастает при повышении порядкового номера п. Сведение задачи об управлении распределенной системы к конечномериой используется при решении задачи оптимального управления методом моментов [8, 9, 43], Если поступать формально, считая, что распределенная система достаточно точно описывается своими первыми п модами, то задача об управлении такой системы сводится к управлению следующей конечномерной системой с одним входом:

x{t) = Ax{t)bu{t), х(0) = Хо,

где А = diag [-р?. ~ul, . . ., -pnL b = [н?, pL

Нетрудно проверить, что пара матриц {А, Ь] полностью управляема и, следовательно, с помощью обратной связи по состоянию можно обеспечить наличие у замкнутой системы произвольного набора собственных чисел. Заметим, что набор собственных чисел {р-} определен, если задать значение коэффициента р, определяемого по геометрическим размерам, внутренним свойствам (коэф-фи1],иент теплопроводности) и условиям внешнего теплооб-

мепа (коэффициент теплоотдачи). Пусть распределенная система имеет фиксированное значенне Р и соответствующий набор {[ij}. Зададим некоторый желаемый параметр Р* = р и вычислим по уравнению [i = Ь* ctg ц характеристические числа {i*}- Так как система управляема, то можно выбрать вектор обратной связи к так, чтобы замкнутая система х (О lA - bklx(() имела бы набор собственных чисел {.ц }. Вообще говоря, это в некотором смысле равносильно изменению внутренних свойств распределенной Системы с помощью активной линейной обратной связи по состоянию. Так, если коэффициенту теплопроводностн стержня X соответствует набор собственных чисел {[li}, а значению этого коэффициента Я* - набор {цг*}, то выбором обратной связи можно обеспечить системе набор чисел {р,(*}. При этом предполагается, что все переменные состояния системы доступны для измерения и кроме того, что поведение распределенной системы точно описывается с помощью ее первых п мод. Снять эти допущения - сложная задача. Здесь заметим, что если измеряется температура в какой-либо точке стержня О Zi 1 и если система представлена с помощью первых п мод, то уравнение выхода имеет вид

y{t) = Q (Zi, О = S COS \kJ,iXn {t) = cx {t),

где с = [Al COS iiJi, A2 COS [igZi, . . ., Л cos Zj], и нетрудно проверить, что пара {А, с} полностью наблюдаема для всех li [О, 1]. Следовательно, можно построить идентификатор этой системы и произвольными динамическими свойствами. По поводу точности аппроксимации распределенных систем конечным числом мод имеется обширная литература. Библиографию можно найтн в [8, 9].

Стабилизация неустойчивой распределеииой системы. В некоторых случаях неустойчивость линейной распределенной системы связана лишь с конечным числом ее нестабильных мод. Однако обычно для стабилизации таких систем требуется знание состояния системы во времени. Задача получения приемлемой оценки состояния распределенной системы необычайно трудна. В приводимом ниже простом примере [87] для стабилизации системы требуется только информация о ее неустойчивых модах,

и (t, i)=Zf>n (ОД {I), Ь (О = [6i (О, h (t),. .] -

а л - диагональная матрица бесконечной размерности с диагональными элементами = - -Ь -

= 1,2, .... Пусть {т -1- !> а !> для некоторого положительного целого т, так что первые гп мод системы неустойчивы.

Мы хотим построить обратную связь такую, чтобы все модырзамкнутой системы были устойчивы. Очевидно, что если Q {t, I) можно точно измерить в любой момент времени, то любая обратная связь вида и (i, I) = kQ (t, I),

Снова рассмотрим одномерное уравнение диффузии

= + C(M) + (U). (5)

определенное при i О, [О, 11. Здесь Q {t, I) - состояние системой (например, распределение температуры в стержне), а и {t, I) - управление. Начальные и граничные условия заданы соотношениями

Q{0,1) = ,(?о!(0. 0) = (? [и 1) = О,

о<г<1,оо, (6)

где 0 (/) - непрерывная функция времени. Предполагая, что и {t, I) непрерывно дифференцируемая функция обоих аргументов и и [t, (У) = и {t, 1) = О, запишем решение (5), (6) в виде

Q{t, =2 T (Orr (i), т,(г) = /28шл,г.

71=1

Обозначим х {t) = [xi {t), (i), . . Л. Тогда х {t) удовлетворяет бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

kit) - Лх (i) 4-Ь (i), 0)