<ni,Y > = J6,(Z) Т {l)dl. о

Пусть Вт обозначает {т X т)-матрицу, образованную первыми т строками матрицы В. Если о,- (1) выбраны так, что матрица В имеет обратную, то простая стабилизирующая обратная связь для уравпения (3) имеет вид

u(t) =-В-КРтХ {t), (8)

где К - диагональная матрица с элементами kjj = = а - рл, / = 1, 2, . . ., т, а матрица Рщ является матрицей оператора проектирования, определенного соотношением = аа, - . uml для всех а = = [%, йа, . . .1. Оператор Рт, таким образом, проектирует бесконечномерное пространство последовательностей вида [flj, 2, . . .], обычно обозначаемое через 1,

где к -а, обеспечит стабилизацию системы. Рассмотрим конечномерную стабилизирующую обратную связь, которую можно реализовать. Пусть управляющее воздействие задано в виде

где Gi [l) ~ некоторые непрерывные функции, число т равно числу нестабильных мод объекта а вектор и {t) ~ = (i), щ {t), . . ., Um {t)\ представляет собой искомое конечномерное управление. Б практических ситуациях 1 {Ц 1 {t) может описывать управление, которое локализовано на подмножествах И отрезка fO, 1], а Gt {I) является подходящей иенрерывиой функцией, заданной на Очевидно, вектор b {t) в уравнении (7) может быть представлен в виде

b {t) = Ви (t),

<ai, Tl) <аа, Tl) ... <а, В = <а1,Уй> <аа,У2> ... <а, Vy

МОДАЛЬЙОЕ VllPABJlRHItE

[ГЛ. VI

В Конечномерное пространство R *. Заметим, что в законе управления (8) участвуют только амплитуды неустойчивых мод. Предполагается, что все неустойчивые моды идентифицируемы, нли точно измеряеьш.

Уравнение системы, охваченной обратной связью, имеет вид

-f*) [A-BB-KP]x{t), (9)

Поскольку матрица

[А~вв:;КР] =

(здесь От -пулевая матрица, ?- матрица с возможно ненулевыми элементами размеров оо х т) является треугольной, то ее собственные значения Я, i т, совпадают со стабильными модами разомкнутой системы, в то время как все нестабильные моды отрицательны за счет выбора матрицы К. Таким образом, а; {t) О при t О при любом г = 1, 2, ...

Геометрическая интерпретация данного примера состоит в следующем. Пространство состояний распределенной системы, совпадающее с пространством 1, мы разлагаем в прямую сумму конечномерного подпространства Xm, которое содержит только нестабильные моды объекта, и бесконечномерного подпространства Х, содержащего устойчивые моды объекта. Так как подсистема, определенная в Xm, управляема, идентифицируема и имеет конечную размерность, то можно построить стабилизирующую обратную связь (линейное отображение на X с конечномерным рангом) такую, что подпространство Х- является инвариантным при отображении А -f- Ви и собственные значения или частоты устойчивых мод остаются при этом преобразовании без изменопий.

g 31] П.-ТедйтЦ\я система Ml

Заметим, что данная процедура пригоДЦа для изменения первых г собственных значений устойчивой системы (а == 0), если предположить, что информация о соответствующих модах системы имеется.

Задачи. 1. Для уравнения (5), (6), где а = О, и [1, t) = = Ь{1) и (О, а

О в противном случае,

выберите управление и (t) в виде обратной связи, считая, что необходимые данные о состоянии системы имеются, такое, чтобы первые два собственных значения системы совпали с числами ~ = - 8п, Х2 ~ - 12п, а остальные собственные значения остались неизменными.

2. Для системы (1), (2) при = 1, ограничившись двумя первыми модами ряда решения, и считая, что измеряется температура в точке / = О, снонструируйте регулятор, который придавал бы системе собственные числа, определяемые как первые два корня уравнения ц = 2 ctg р. В качесте идентификатора состояния используйте фильтр Калмана с собственныъш числами = Xj == - 9.

§ 31. Следнщая система

Рассмотрим, основываясь на модальных соображениях, синтез следящих систем, обеспечивающих точное слежение за командными сигналами сложной формы при наличии неизвестных и неизмеримых возмущений. Основная идея решения этой задачи аналогична той, которая была использована для обоснования введения интегральной обратной связи в § 29. Мы рассмотрим неизвестный сигнал помехи и командный сигнал как выходы некоторых идентифицируемых динамических систем, структура которых известна, а начальное состояние произвольно. Далее мы построим следящую систему для идеального случая в предположении, что состояния фиктивных динамических систем, выходы которых совпадают с помехой и командным сигналом, нами точно измеряются в любой момент времени. Затем построим идентификаторы состояний этих динамических систем и, заменяя в формулах для идеального случая состояние его оценкой, получаемой на выходе идентификаторов, придем к физически реализуемой конструкции следящей системы. Из-за отсутствия места будем опускать промежуточные выкладки при решении