возникающих в процессе конструирования алгебраических задач.

В заключение будет дан подробный пример конструирования следящей системы для объекта 2-го порядка. Излагаемый здесь подход неоднократно уже упоминался Б литературе в связи с задачей конструирования следящих систем {см., наиример, [83], [89]). Наше изложение близко следует работе [63], в которой рассматривается задача для общего нестационарного случая. Мы ограничимся рассмотрением стационарной системы.

Постановка задачи. Пусть управляемый и идентифицируемый стационарный объект оиисан уравнением

k{t) = Ax{t) + Bii{t) + Fw{t), ] y{t) = Cx{t), j

где, как обычно, x (t) - п-вектор состояния, u {£) - m-вектор входных возмущений, у {t) - jO-вектор выходов и W (t) - г-вектор внешних возмущений, Л, В, F, С - по-стояппые матрицы размеров п X п, п X т, п X г, р X п соответственно. Будем предполагать, что выходы объекта линейно независимы, так что ranlc С = р. Задача управления объектом будет зак.тючаться в том, чтобы выбрать вход п (t) так, чтобы выход объекта у (i) по возможности точно следовал за некоторым заданным р-мерным командным сигналом Ук (t), который заранее не известен, но измеряется (появляется) в текущий момент времени t. Более того, требуется обеспечить удовлетворительное слежение за командным сигналом при действии на объект неизвестной внешней помехи w (t).

Типичным примером такой задачи является задача обеспечения высокоточного слежения антенной радиолокатора за летящим объектом прн воздействии на антенну порывов ветра и при непредвиденных маневрах летящей цели.

Начнем рассмотрение задачи с представления сигнала помехи и командного сигнала с помощью переменных состояния . Здесь уместно напомнить, что аналогичные представления были использованы нами при конструировании асимптотического дифференциатора в § 25, а также в § 29.

Пусть командный сигнал ук (t) является выходом некоторой фиктивной динамической системы

i{t) = Rv{t), ] ,2)

y (0 = Gr(0, J

причем Ук (t) можно непосредственно измерить. Матрицы R, G известны, их размерность v X v, р X v соответственно. v-вектор г (t) представляет собой состояние командного процесса. Вектор г (t) может скачкообразно изменяться в произвольные моменты времени за счет изменения начальных условий. Внешнее возмущение w (t) появляется на выходе фиктивной динамической системы

z{t)=Dz{t), ] .3.

где w (t) недоступно для непосредственного измерения, матрицы D ш Н размеров р х р и г X р заданы, р-вектор Z (t) является состоянием процесса помехи, начальные условия в (3) неизвестны и могут скачкообразно изменяться в произвольные моменты времени.

Заметим, что функции ук (i) и w (t) могут быть разрывны из-за возможного скачкообразного изменения начальных условий. С помощью динамических процессов (2), (3) можно моделировать широкий класс реальных помех и командных сигналов. Например, это могут быть произвольные линейные комбинации конечных импульсов, полиномиальных функций времени, затухающих и нарастающих синусоидальных сигналов, нарастающих и затухающих экспонент и т, д., причем коэффициенты в этих линейных комбинациях могут меняться скачками Б произвольные моменты времени.

Необходимо выбрать управление и (t) так, чтобы выход объекта у (t) точно и безынерционно следил за каждым командным сигналом ук (t), который может появиться на выходе системы (2) при наличии любой неизмеряе-мой помехи W (t), генерируемой системой (3), Кроме того, управление и (t) должно быть физически реализуемо в виде обратной связи по выходу, т. е. а (t) = а (у (t), ук (t)).

Решение этой задачи будет основано на чисто алгебраических соображениях. Начнем с простейшего идеального случая. Будем считать, что сестояния систем (1), (2), (3)

доступны для прямого измерения. Тогда вся информация, необходимая для предсказания поведения объекта в будущем, имеется, и с помощью линейной стационарной обратной связи по состоянию мы можем обеспечить произвольно хорошую динамику слежения за командным сигналом. Пусть управление, решающее задачу в этом идеа.тъном случае, состоит из двух слагаемых

где Пц (t) обеспечивает компенсацию влияния иомехи W (t) иа объект, а Пк (t) обеспечивает слежение за командным сигналом ук (t) Б предположении, что помеха отсутствует. Начнем с вычисления управления Un (t)-

Точная компенсация помехи. Подставим управление (4) в уравнения объекта (1) и, воспользовавшись формулой Коши и подставляя w (t) = Hz (t), выпишем явное выражение для выхода у (t):

у {t; Хо, Z (t)) = Ce(-o)xo + e(-)5u (t) dx +

-Ь С j e(-J [Впа (т) + FHz (x)] dx, (5) и

Чтобы выход у (i) не зависел от иомехи w (t), необходимо и достаточно, чтобы последний член справа был тождественным нулем. Сформулируем этот результат.

Теорема 1. Действие возмущения w(г) на выход объекта (1) у {t) будет полностью исключено тогда и только тогда, когда найдется постоянная матрица Л такая, что

СеС-) [ВА + FH] = О при всех tx, t оо. (6)

Соответствующее управление имеет вид Пп (t) = Az (t). О Условие (6), очевидно, эквивалентно следующему (см. § 20):

С [В, АВ, АВ, . . ., АВ] =0, В = ВА + №, (7) которое в свою очередь влечет за собой систему равенств

СА [ВА + FH] =0 при S = О, 1, 2, . . ., тг - 1. Если ввести в рассмотрение матрицу

W = [С, АС. (АУС, . . ., {А-уС],