S 311 Следящая система 345

ранг которой равен п в силу идентифицируемости пары матриц {А, С], то условие (7) можно записать в виде

rank [W, В, рт = rank [W, В].

Если это условие выполнено, то соответствующая матрица Л может быть вычислена. Наиболее общая формула для Л имеет вид [641

д = -{WB)+WFH + [E-{WB)+WB]Qa,

где через {-у обозначена псевдообратная матрица, - произвольная параметрическая матрица, Е - единичная матрица.

Точная компенсация помехи с помощью управления Нп () = Az (i) возможна даже в том случае, если помеха - разрывная функция, когда точно известно состояние процесса помехи z (t). Это условие соответствует случаю точного измерения сигнала помехи.

Идеальное управление п (О является, конечно, физически не реализуемым из-за отсутствия данных о состоянии Z [t). Далее мы построим оценку для этого состояния с помощью идентификатора, а пока продолжим изучение идеального случая.

Слежение за командным сигиалои. Предположим, что выбрано идеальное управление Un [t) = Az [t). Тогда уравнения движения (1) примут вид

X {t) = Ах (О -Ь (О + Въ [Г), I g

у(0 = Сх(0, J

где В = Bh + FH. Заметим, что в соответствии с выбором Пп [t) член Вг (t) не влияет на выход системы. Теперь задача состоит в том, чтобы выбрать управление Пк (t) так, чтобы обеспечить точное слежение за каждым сигналом Ук (t), который появляется на выходе системы (2), Установим сначала необходимое условие точного слежения.

Теорема 2. Для теоретически точного слежения выхода системы (8) у {t) за командным сигналом у {t), генерируемым системой (2), необходимо, чтобы существовала матрица 0 (возможно, не единственная) такая, чтобы

G = С&. (9)

МодаЛьйоё Управление

[гл. vl

Доказательство. Рассмотрим опшбку слежения 8у (t) = Ук {t) - у (t). Используя (2) и (8), получим

Бу (t) - Gr (t) - Сх (t).

Заметим теперь, что v-вектор г (t) ( состояние командного процесса), вообще говоря, совершенно произволен. Отсюда немедленно следует, что для того, чтобы 8y(i) ~ О для некоторого х (t), необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица 0 такая, что G = С@. Однако необходимо еще доказать, можно ли соответствующее х (t) реализовать с помощью допустимого управления. Отсюда следует отсутствие достаточности в условии теоремы. Q

Если командный сигнал появляется на выходе системы (2), начальные условия которой могут меняться скачкообразно, то ясно, что точное с.тежение за таким командным сигналом с помощью стационарной обратной связи, вообще говоря, неосуществимо. Положение здесь аналогично тому, какое мы имеем при решении задачи регулирования с помощью стационарной обратной связи. Однако по-прежнему, хотя мы и не можем обеспечить точное слежение, мы можем выбрать любую динамику стремления к нулю ошибки слежения.

Предположим теперь, что матрица в выбрана в соответствии с равенством (9), и запишем ошибку слежения в виде

ey{t) = C[BT{t) - x{t)].

Удобно ввести новую переменную S (i), определенную равенством

{t) = er{t)~x{t). (10)

Тогда ошибка слежения меняет быть представлена в виде 8у ( = (t). Теперь задача точного слежения за командным сигналом может быть представлена как задача выбора управления н (t), которое обеспечивало бы быстрое стремление к нулю переменных Z, (t) из любого начального состояния (). Ясно, что, решив эту задачу, мы обеспечим быстрое стремление к нулю ошибки слежения ву (t).

Дифференцируя (10) но времени и исиользуя уравнения состояния для г (t) (2) и для X (t) (8), получим линейное дифференциальное уравнение относительно вектора

t (t) = (t) - Buk (t) + (вД - AB) r (0 - bz (t). (11)

Это уравнение по структуре подобно уравнению объекта (1). Последние два члена в (11) играют роль внешних возмущений. Это наводит на мысль об использовании идеального управления, обеспечивающего компенсацию помехи, для построения управления Нк (t).

Предположим, как и ранее, что состояния г (t), х (t) можно точно измерить и что идеальное управление пс (t) можно выбрать в виде стационарной обратной связи по состоянию

u{t) = Kix{t) + K2T{t), (12)

где jSTi и jS - некоторые постоянные матрицы т X п ш т X v, которые предстоит выбрать на основе соображений о динамике идеальной следящей системы. Подставляя

(12) в (И), получим

i (t) ==[А + BKiM (t) - Fr (t) - Bz (t), (13) где матрица V определена равенством

V - ~BR + а0 -h 5 [Кв + Kl (14)

Заметим, что в формуле (13) член -Bz (t) не влияет на выход системы у (t) согласно выбору управления Пц (г), однако он может влиять на состояние (t). Задача слежения за сигналом ук (t) свелась теперь к выбору матриц jSTj и 2 б (13) так, чтобы (i) -0 из любого начального состояния S (t)- Так как Bz (t) на выход системы не влияет, то, используя теорему 1, потребуем, чтобы матрица V удовлетворяла тому же набору условий, что и матрица В = В\ + в условиях этой теоремы. Объединяя эти результаты, получим следующее утверждение. Теорема 3. Произвольное решение t, (t) системы

(13) будет асимптотически стремиться к нулю независимо от t (t) и Z {t) тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

а) матрица К- выбрана так, чтобы матрица [А -\-BKi) была бы устойчивой;