б) выбор матрицы К. обеспечивает выполнение равенства

CeMi-) [вЯ - Ав - BKS - ВК] = О (15)

при всех т, t. О

Заметим, что для того чтобы выполнялось условие б) теоремы 3, необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица К2 такая, что

ВК = V + вВ - Ав - ВКув (16)

для кекото/юй матрицы F, которая удовлетворяет условию CeM-) 17 = 0. Поэтому вычисление матрицы можно проводить в два этапа. Сначала выбрать матрицу F, удовлетворяющую условию (15), а затем вычислить но формуле (16). Заметим, что условие (15) выполнено тогда и только тогда, когда одновременно выполнены два условия:

rank [В, F + 0Д - Ав] = rank [В], (17)

СеА((-т> F = О, 0 < < 0 < < оо- (IS)

С точки зрения практической реализации вычислений полезно заметить, что условия (17) и (18) не зависят от выбора матрицы Kl-

После выбора матриц и К.2 идеальное управление имеет вид

н [t) = Az it) -Ь Кх [t) + Kv it).

Динамические свойства этой идеальной системы будут определяться выбором матриц Ki, К, Л.

Физически реализуемая следящая система. Обратимся к задаче оценки состояний систем (1), (2), (3). Будем считать, что реально доступны для измерения лишь две величины: выход объекта у [t) и командный сигнал Ук {i). Как и ранее, при конструировании регулятора нулевого состояния (§ 27), покажем, что замена в идеальном случае векторов состояний х (г), z (i), г {t) приемлемыми оценками х (f), z (i), f (i), получаемыми на выходе идентификаторов, использующих информацию только об измеримых величинах у (г), ук it), позволяет сконструировать физически реализуемую следящую систему, динамические свойства которой можно выбирать по своему усмотрению. Для простоты будем использовать для оценки

состояния п-мерные ндентификаторы (фильтры Калмана). Аналогичные результаты могут быть получены и при использовании идентификаторов Люенбергера.

Поскольку конструирование идентификаторов п-мерного норядка было подробно изучено в гл. V, мы здесь сразу выпишем уравнения идентификатора, на выходе которого будет оценка состояния объекта х (t) и оценка состояния* помехи z (t):

л it)

y(0 +

u(0,

(19)

где матрицы A, В, С, Z>, F, H определены выше, y() и u [t) - соответственно действительный выход объекта и действительный вход в (1). Предположим, что матрицы Li и выбраны таким образом, что разность между значением [х (г), Z {t)] и оценкой [х (i), z [t)] асимптотически стремится к пулю:

[е (08Л0][х(0-2(0]-[х(0, z(i)]-0 при -оо-Уравнения для ошибки оценки состояния имеют вид

[ело J

(20)

В силу того, что пары матриц {А. С) и {D, Н) являются идентифицируемыми, можно выбрать соответствующие матрицы Li и так, чтобы обеспечить желаемую динамику стремления ошибки идентификации к нулю.

Построение физически реализуемого идентификатора состояния г [t) по измерениям {t) можно осуществить по следующим формулам:

r(0 = [i?+iVG];(0-Ay (0,

(21)

где В и G заданы в (2), а iV - матрица, которая обеспечивает желаемый темп стремления ошибки к нулю и выбирается конструктором. Ошибка оценки Вг (t) = т (t) - - г (t) удовлетворяет уравнению

г (О - + NG]s, it). (22)

Поскольку пара {R, G} идентифицируема, то выбор матрицы можно всегда осуществить, если задаться динамикой стремления (t) О при * ос.

Теперь мы готовы к тому, чтобы выписать уравнения физически реализуемой следящей системы. Для этого достаточно в формулах На (t) = Az (i), Uk (t) = KiX (t) -\-+ Kr (t) заменить {z (t), x (t), г (t)} их оценками {z (t), X (t), f (t)} и получить физически реализуемое управление вида

u{t) = Unit) + u (t) = \i{t) + Kix{t) + Kr{t), (23)

Чтобы доказать, что это управление на самом деле позволяет отслеживать любой командный сигнал, появляющейся на выходе (2), в присутствии любого внешнего возмущения, генерируемого системой (3), мы рассмотрим динамическое поведение действительной ошибки слежения 8у (i) = Ук (t) - у (i) ири управлении (23). Для этой цели подставим управление (23) в уравнение (1) и, исиользуя обозначения:

x{t) = x (t) - (t), l{t) = i (t) - e, (t), t{t) = r (t) - Brit), получим

X (t) = [A BKj] X (t) + [BA + FH] z it) +

+ BKr (t) + B[Ab:c (t) - Ke, (t) - Кгг (t)]. (24)

Уравнение (24) описывает движение реального объекта при действии возмущения w (t) и при управлении в виде обратной связи (23).

Рассмотрим теперь поведение переменной состояния S (t), заданной равенством (10).

Уравнение для (t) с использованием (24) имеет вид

t (t) - [А -h Mil S (t) - Vt (t) - Bz (t) +

-h В [Ke (0 -[KSr [t) - Аг, (t)]. (25)

Если матрицы К, JCg, JV в идентификаторах выбраны должным образом, то ошибки 8: (О (0> (О будуТ СТрб-

миться к нулю, и поведение переменной t, (t) в промежутках менаду скачками в начальных условиях систем (2) и (3) будет определено уравнением

t (t) = [А + ВК] it) - Vt it) - Bz{t),