Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [ 117 ] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

где оценки Zx{t), $з{1) получим на выходе иденти-

фикатора (33), а оценки r-ilt), г2 (*) - на выходе идентификатора (34).

Блок-схема всей следящей системы представлена на рис. 31.2. Эта следящая система успешно решает задачу даже в том случае, когда командный сигна.л в точности совпадает с сигналом помехи!

Задача. Сконструярумге следящую систему для полностью уд-равляемого и полностью идентифицируемого объекта, заданного матрицами

го 1

Командный сигнал:

Сигнал помехи;

af + Ь

Параметры о, b, с, d - произвольные постоянные, образно изменяющиеся во времени.

скачко-



ГЛАВА VII

КВАДРАТИЧНЫЙ КРИТЕРИЙ КАЧЕСТВА

Решая задачу конструирования регулятора, мы принимали во внимание лишь требование устойчивости замкнутой системы регулирования. Поэтому параметры регулятора были подчинены некоторым неравенствам, обеспечивающим расположение всех полюсов замкнутой системы в плоскости Res<: 0. Если потребовать, чтобы переходный процесс в системе был наилучшим в каком-то строго определенном смысле, то параметры регулятора можно выбрать однозначно из условия минимума заданного критерия качества.

Задачей управления с квадратичным, критерием качества или задачей наименьших квадратов будем называть задачу, для которой заданы;

1. Квадратичный критерий качества

J -=\{и (t) R (t) и (t) + x (t) L (t) X (t)} dt + x (tt) Qs. {t{). и

2. Уравнеияе движения

i(t)= A{t)x{t)-\-B{t)uit), y(t)=C{t)K{t), x(?,) = Xo.

3. Множество, которому долж1ю принадлежать состояние X (tl), и требуется найти управляющую функцию u(t), определенную на интервале f t, которая удовлетворяет условиям 2, 3 и минимизирует /. Без потери общности матрицы Q, R и L считаем симметричными.

Сформулированная задача является вариационной и легко может быть решена методом принципа максимума Понтрягина или с помощью динамического программиро-



вання Беллмана. Однако привлекатольно получить ее решепие элементарными методами, используя линейность уравнений движения и элементарные свойства квадратичных форм. Оказывается, это можно сделать, если взять в качестве класса управляющих функций li пространство С * Uq, tl] непрерывных функций. При решении задачи мы получим явное выражение для потерь, возникающих при замене оптимального управления на любое другое управление. Мы также автоматически получаем условия, при которых задача имеет решения.

Будем различать два вида решений сформулированной задачи. Если мы определяем оптимальное управление U (t) как функцию А, В, L, Q, Xq, t и множества, которому должно принадлежать х (г), но не как функцию текущего Состояния X тогда мы говорим об управлении по разомкнутому контуру, или просто о разомкнутом управлении. В том случае, когда управление выранается как линейная функция оптимальной траектории х т. е. ц [t) ==-- -К {t)x (t), то говорится, что управление представлено в виде обратной связи (управление по замкнутому контуру).

Такое различие никогда не возникает в задачах клао-сического вариационного исчисления. В теории управляемых систем такое различие крайне важно, поскольку разомкнутые и замкнутые системы оптимального управ ления по-разному ведут себя в присутствии помех п применяются эти системы в совершенно различных случаях.

Задачи с квадратичным критерием качества относятся к таким задачам управления, решение которых может быть получено в замкнутой форме. Это обстоятельство имеет основополагающее значение при конструированип практических систем управления. Ограниченность формулировки задачи, связанная с отсутствием ограничений на управление и на траекторию движения, может быть снята с помощью выбора весовых функций (матрицы Q, L, В) в формулировке критерия качества.

Кроме того, получаемый при родгении задачи с квадратичным критерием оптимальный закон управления является линейные! законом и, следовательно, легко реализуется на практике.

При решении задач этой главы везде предполагается, что состояние системы либо ее выход доступны для



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [ 117 ] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139