измерения; если это условие не выполняется, то дополнительно к оптимальному регулятору необходимо конструировать идентификаторы состояния для иолучения приемлемой оценки вектора состояния.

§ 32. Минимизация в евклидовых пространствах

Цель этого параграфа состоит в том, чтобы привести алгебраические аналоги задач управления с квадратичным критерием качества. Такими аналогами могут служить рассматриваемые ниже задачи минимизации в пространствах со скалярным произведением. Перед чтением этого параграфа советуем читателю еще раз прочесть § 8.

Минимальная длина вектора, принадлежащего заданной гиперплоскости. Рассмотрим уравнение гиперплоскости в евклидовом пространстве <х, = а, где Ь - некоторый фиксированный вектор, а а - вещественное число. Поставим задачу о выборе вектора х, лежащего в данной гиперплоскости и имеющего минимальную длину (норму) 1 X 1 = (х, х)> = min. Для решения этой задачи воспользуемся неравенством Коши - Буняковского

<х, у><<х, х><у, у>. (КБ)

Напомним, что равенство в (КБ) достигается тогда и только тогда, когда векторы х, у линейно зависимы (см- теорему 9 § 8). Решение задачи о векторе минимальной длииы заключается в том, чтобы выбрать х иронорциональным вектору Ь, а константу проиорциональности подобрать из условия (х, ЬУ = а. Следующая теорема формулирует этот результат.

Теорема!. Пусть Ь Ф О - фиксированный вектор в абстрактном евклидовом пространстве и пусть а - данный скаляр. Тогда значение х, которое минимизирует <х, х)> при ограничении (х, Ъ} = а, равно

Хо = а <Ь, b> b.

Доказательство. Сначала заметим, что Хр лежит в данной гиперплоскости. Действительно,

<хо, Ь> = <а <Ь, Ь>-1 Ь, Ь> = а <Ь, Ьу <Ь, Ь> = а. Покажем теперь, что любой другой вектор х из этой ги-

нерплоскости имеет большую норму. Если <х, ЪУ = а, тогда

<х, Ь> - <Хо, Ь> = О, или <х - Хо, Ь> = 0. Домножая это равенство на а (Ь, Ь> , получим

<Х, Хо> - <Хо, Хо> = О, (1)

вместе с тем по определению скалярного произведения имеет место неравенство

О < <Хо - X, Хо - х> = <Хо, Хо> - 2 <Хо, х> -f <х, х>.

Используя равенство (1), получим <х, х) - <(Хо, хУ > о, т. е. норма вектора х больше нормы вобранного вектора Xq. о

Эта задача важна в геометрии, так как ее решение дает метод определения минимального расстояния между точкой и плоскостью, не содержащей этой точки.

Минимальная норма решения линейной системы. Если X - евклидово пространство со скалярным произведением <-, Ух, а Y - евклидово пространство со скалярным произведением -у, то для линейного преобразования L: X-Y определено сопряженное преобразование L*: Y -X. Напомним, что L* называется сопряженным к L, если для всех х X н у Y выполнено равенство

<y,L(x)>y <Г(у), х>,.

Снова подчеркнем, что пространства X и Y могут быть совершенно различными. Например, одно из них может быть конечномерным, а другое - бесконечномерным.

Следующая теорема обобщает теорему 1 и является весьма полезной для наших целей.

Теорема 2. Если L: X- Y - линейное преобразование из евклидова пространства X в конечномерное евклидово пространство Y и если произведение преобразований LL*: Y -Y является обратимым, то уравнение L (х) = уо имеет решение

ХоЬ{ЕЬуЦуо).

Более того, если Xj - какое-нибудь другое решение уравнения L (х) = Уо, то справедливо неравенство

<Xi, Xi> > <Ха, Хо>.

Доказательство. Пусть LL* (у) = Уо- Тогда У1 существует, так как матрица LL* обратима. Тогда Хо = L* (yj). Ясно, что вектор Хо удовлетворяет исходному уравнению

Ьщ = ЬЬ*{ЫТУоУо.

Если Xi - какое-либо другое решение, то L (xj) - L (Хо) = = О, и поэтому

<Уг, = <b (yi), Хо> = <Хо, Хо>,

<У1, Z.(xi)> = <Г(у1), Xi> --= <Хо, Xi>.

Отсюда немедленно имеем Хд, х = (хц, ху. Воспользовавшись этим равенством, получим требуемое утверждение

О < <Xi - Хо, Xi - Хо> =

= <Xl, Xi> - 2 <Xi, Хо> Н- <Х( Хо> =

= <xi, Xi> - <Хо, Хо> > 0. о

в качестве мнемонического правила может быть полезна коммутативная диаграмма, представленная на

рис. 32.1. Смысл диа-L* граммы в том, что хотя

X и нельзя прямо перейти из Y в X, потому что любой у имеет много прообразов в X, можно все-таки выбрать единственный прообраз, воспользовавшись условием минимума нормы. Этот выбор реализуется, как утверждает доказанная теорема, на пути из Y в X через преобразование LL*.

Рассмотрим пример использования резу.тьтата теоремы 2. Пусть X = R* , Y = R . Тогда каждому линейному преобразованию L: X -Y соответствует т X ?г-матри-ца Л этого преобразования, заинсанного относительно некоторых базисов, выбранных в пространствах X н Y. Пусть Z - вектор пространства Y и Л матрица т X п

Рис. 32.1.