ранга т. Рассмотрим задачу отыскания п-вектора х такого, ЧТО Ак = Z, а величина х = <х, х)> мвннмальна. Сопряженному преобразованию в этом случае соответствует транспонированная матрица А. Поскольку матрица А имеет ранг т, то матрица А А размеров т. X т имеет обратную и согласно теореме 2 вектор хд = А {AAYz является таким решением линейной системы Ах. = z, которое имеет минимальную норму среди всех других решений этой системы.

Это решение лпнейной системы называют псеедореше-нием, а матрицу А - А {АА) - псевдообратной матрицей для матрицы А. Такое определение псевдообратной матрицы годится для прямоугольных матриц, ранг которых совпадает с числом строк или с числом столбцов. Если матрица А - квадратная и неособенная, то псевдообрат-ная матрица совпадает с обратной. Более подробно со свойствами псевдообратных матриц mojkho познаколгаться по книгам [10, 16].

Минимизация квадратичной формы на решениях линейной системы. Рассмотрим небольшое обобщение полученного результата. Пусть задана матрица Q = NN. Найдем решение уравнения Лх = z, минимизируюп1,ее квадратичную форму xQx. Если \N\0 (это условие будет выполнено в том случае, если матрица Q положительно определена), то можно принять iVx = у и тем самым свести задачу к предыдущей. Лучший х, обеспечивающий минимум квадратичной формы, вычисляется тогда по формуле

Xfl = Q-Ы (AQ--ATz. В добавление к этим результатам, которые описывают минимизацию <х, х при линейных ограниченниях, имеется много интересных задач, где нуяаю минимизировать сумму квадратичной и линейной форм. Мы воспользуемся прямым методом для доказательства элементарного, но полезного результата.

Теорема 3. Если симметрическая матрица Q --= = Q положительно определена, то для всех х е имеет место неравенство

3 = xQx + 2гх Н- b > b - vQ-v,

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Xq = Q~ v.

Доказательство. Поскольку Q положительно определена, существует Q~. Прибавляя г Q г к р и вычитая ЭТОТ же член, получим полный квадрат

= (х + Qhy (х -f Q-h) + Ь - rQh.

Так как Q положительно определена, то первое слагаемое справа имеет минимальное значение, равное нулю, и этот минимум достигается при х = -г. О

В заключение заметим, что решение задачи, в которой требуется найти минимум <(х, х)> при ограничении

<х, (?х> = 1,

было получено в § 8 (теорема 9). Согласно этой теореме максимальное значение <;х, х)> вычисляется но формуле

тах<х, х> [Г ((?)]-!,

а минимальное по формуле

шш <х, х>- [кЦО)Г\

где {Q), Х~ {Q) - соответственно максимальное и минимальное собственные значения матрицы Q.

Задачи. 1. Пусть Q - симметрическая неотрицательно определенная матрица. Показать, что существует минимум для

П - xQx-I-2ух-Ь Ь.

ели вектор у лежит в области значений Q и нет минимума в противном случае. Единственно ли минимальное значение х?

2. Рассмотрим задачу иагрева стальных заготовок, проходящих через иечь, ра:!Делеипую иа пять :юн. Предположим, что стоимость нагрева в каждой [юии иропорпяоиальна квадрату температуры зоны Тг, и предположим, что температура изделия 7 *, выходящего из зоны, связана с температурой заготовки (изделия) при входе в зону Гц и с тештературой зоны 1\ уравнением

Найдите значенне температур зон Т-, Т, Тг, Т, Т,- минимизирующих Стоимость нагрева, если начальная температура заготовки 10°, л конечная температура 1000°.

3. Пусть А - матрица п X т. Предположим, что для всех матриц С размером jn X т уравнение

AQ-j- QA С

можно решить. Найдите решение, для которого tr QQ минимален.

4. Линейная система уравнений в теореме 2 имеет решение, и задача заключается в выборе оптимального решения из множества имеющихси. Задача, доиолняющая названную, заключается в выбо-

ре вектора х такого, чтобы величина Лх-уЦ была бы шшимальна, когда система Ах ~ у решений не имеет. Покажите, что если А имеет размер т X п и ранг от, го выбор = (АА)~Ау минимизирует Ц Лх - у .

5. Дан набор п пар {х, Ц}. Найдите функцию f [t) = at-\- {аир - постоянные, которые следует определить), TaKjTo, чтобы

2 (i) ~ ] было мптшально {см. задачу 4).

6. Минимизировать xQx-{- Ьх при огранпченип Сх - О, когда С - матрица т X п ранга т.

§ 33. Задачи со свободным конечный состоянием системы

Будем различать два типа задач.

Задача без огратшчений на конечное состояние системы и задача с фиксированным конечным состоянием. Первая задач а немног о проще, и решение ее будет получено в этом параграфе. Сразу следует оговориться, что под решением подразумевается возможность вычисления оптимальных траекторий и оптимальных управлений в терминах решений некоторых нелинейных матричных дифференциальных уравнений, которые могут быть проинтегрированы только в частных случаях. Однако даже в таком виде приводимые результаты играют центральную роль Б теории управляемых систем, так как они позволяют получить представление о структуре оптимальной системы. А если нужны конкретные числа, то расчеты легко осуществляются на ЭВМ.

Уравнение Риккати. Итак, пусть задача наименьших квадратов характеризуется свободным правым концом траектории и функционалом качества вида

J = \{х [t) L (t) X (t) + u (t) и (t)] dt + x (il) Qx (tl). t*

Мы предположим, что матрица L - симметрическая, но не обязательно положительно определена, хотя эти требования и выполняются в большинстве практически интересных случаев.

Кроме того, будем предполагать, в отличие от общей постановки задачи, что в квадраишпой форме относительно управляющих воздействий п (f) В (f) и (t) матрица