Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Интересно отметить, что определитель Л (/) j может иметь обратный даже в том случае, когда ни один из элементов 9 (t) не обратим. Примером является матрица коэффициентов, представленная иа рис. 3.1. Читателю предлагается вычислить для этого примера решения Xi [f) и х (f), пользуясь формулой для обратной матрицы {при-

нять (О = f,ML=-J&.=.o,ji - 1).


Рис. 3.1.

Алгоритм Гаусса. Вычисление обратной матрипы с помощью формулы - I Л I не является эффективным с точки зрения требуемого объема вычислений. Рассмотрим один из эффективных алгоритмов вычисления обратной матрицы - алгоритм Гаусса. Этот алгоритм позволяет, кроме того, получить решение любой] линейной алгебраической системы уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений Ах~ Ь, где Л - матрица т X п. коэффициенты которой являются элементами некоторого поля. Эти уравнения запишем в развернутом виде:

ацХг -f 12:2 + ... -f ащХп = 6i,

ацХх -- 222 + + гпп - 2)



Поступая аналогичным образом с последующими {ш - 1) уравнениями этой системы и т. д будем продолжать процесс вычислений до тех пор, пока не получим одну из трех ситуаций:

а) на каком-то этапе заключим, что система решения не имеет;

б) получиу систему вида

Xi + tti.Ta + .. . ai -c, -f 1, s+i-is+i + + оСщЖп = \-e) получим систему вида

В случае б) выразим х из последнего уравнения через свободные неизвестные х, ж+д, . . ., Xj, которые могут принимать произвольные значения. Говорят, что решение в данном случае зависит от {п - s) произвольных постоянных, В случае в), подставляя = Р

Если все коэффициенты при неизвестных какого-либо г-го уравнения равны нулю, а 6; О, то система решения но имеет. Поэтому мо;кио предположить, что но крайней мере один из коэффициентов в нервом уравнении отличен от нуля. Поменяем нумерацию неизвестных так, чтобы -ф 0. Вычислим и умножим все члены первого уравнения на ai- Затем вычтем из всех последующих уравнений ~ 2-го, 3-го, . . т-го первое уравнение, умноженное соответственно на а, а, . . ., о-шх- После этого наша первоначальная система будет равносильна системе

1 Н- 122 Н- + 1 3:п = 1.



44 ЛИНЕЙНАЯ АЛ1ЕБРА [гл. i

в (тг - 1)-е уравнение, вычислим далее, подставляя

iCn-i н Хп в (п ~ 2)-е уравнение, получим значение и т. д, в этом случае мы получим вполне определенные значения для всех неизвестных х, х, . . ., х,.

Поскольку решение системы п уравнений с п неизвестными сводится к вычислению обратной матрицы, то методом Гаусса можно эффективно вычислять обратную матрицу. Пусть дана матрица А. Напишем систему уравнений Ах = Ь и выразим все неизвестные аг, х, . . ., через элементы Ъ, Ь, . . ., Ь. Эти формулы имеют вид

= Oiibi + ... + in&n (t = 1, 2, . . ., тг).

Так как из Лх = b следует х = Лb, то матрица [а,] и будет искомой обратной матрицей.

Замечание. Алгоритм Гаусса, вообще говоря, не годится для вычисления обращения матрицы с элементами из кольца, поскольку в кольце даже для ненулевых элементов может не существовать обратных. Поэтому, например, приведенный выше пример 2 нельзя решить с помощью алгоритма Гаусса. В подобных ситуациях необходимо вычислить обратную матрицу, пользуясь ее определением Л = \ А \ ~Ы*. При этом нам придется выполнить только одну операцию деления: вычислить Л

Обратную матрицу можно построить, как нетрудно показать, с помощью алгоритма Гаусса, если решить п систем линейных уравнений вида Ах - е, где - j-й столбец единичной матрицы. При этом t-й столбец матрицы А~ будет решением системы Ах = е;. Иногда этим соображением удобно пользоваться для нахождения об ратной матрицы.

Задачи. 1. Сформулируйте еще два определения детерминанта, отличающиеся от данных в тексте.

2. Вычислите определители матриц:

-f 1 аЗ ат ар 32 1 ат Рт T+l.

sin а cos а 1 sin р cos р 1 sin Т cos Т 1

3. Найдите максимальное значение, которое может принимать определитель 4-го порядка, если все его элементы числа ±1.

4. В какой перестановке чисел 1,2, . . ., п число инверсий наибольшее и чему оно равно?

5. Имеет ли обратную матрица А {t) с элементами из кольца функций, непрерывных на отрезке [О, 1]? Элементы матрицы Л {t):

<ii(0 5i - 2, аз (i) - 1, (О - t, а (г) = t--i.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ 12 ] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139