Главная
>
Управление конечномерными объектами Интересно отметить, что определитель Л (/) j может иметь обратный даже в том случае, когда ни один из элементов 9 (t) не обратим. Примером является матрица коэффициентов, представленная иа рис. 3.1. Читателю предлагается вычислить для этого примера решения Xi [f) и х (f), пользуясь формулой для обратной матрицы {при- нять (О = f,ML=-J&.=.o,ji - 1). Рис. 3.1. Алгоритм Гаусса. Вычисление обратной матрипы с помощью формулы - I Л I не является эффективным с точки зрения требуемого объема вычислений. Рассмотрим один из эффективных алгоритмов вычисления обратной матрицы - алгоритм Гаусса. Этот алгоритм позволяет, кроме того, получить решение любой] линейной алгебраической системы уравнений. Рассмотрим систему линейных уравнений Ах~ Ь, где Л - матрица т X п. коэффициенты которой являются элементами некоторого поля. Эти уравнения запишем в развернутом виде: ацХг -f 12:2 + ... -f ащХп = 6i, ацХх -- 222 + + гпп - 2) Поступая аналогичным образом с последующими {ш - 1) уравнениями этой системы и т. д будем продолжать процесс вычислений до тех пор, пока не получим одну из трех ситуаций: а) на каком-то этапе заключим, что система решения не имеет; б) получиу систему вида Xi + tti.Ta + .. . ai -c, -f 1, s+i-is+i + + оСщЖп = \-e) получим систему вида В случае б) выразим х из последнего уравнения через свободные неизвестные х, ж+д, . . ., Xj, которые могут принимать произвольные значения. Говорят, что решение в данном случае зависит от {п - s) произвольных постоянных, В случае в), подставляя = Р Если все коэффициенты при неизвестных какого-либо г-го уравнения равны нулю, а 6; О, то система решения но имеет. Поэтому мо;кио предположить, что но крайней мере один из коэффициентов в нервом уравнении отличен от нуля. Поменяем нумерацию неизвестных так, чтобы -ф 0. Вычислим и умножим все члены первого уравнения на ai- Затем вычтем из всех последующих уравнений ~ 2-го, 3-го, . . т-го первое уравнение, умноженное соответственно на а, а, . . ., о-шх- После этого наша первоначальная система будет равносильна системе 1 Н- 122 Н- + 1 3:п = 1. 44 ЛИНЕЙНАЯ АЛ1ЕБРА [гл. i в (тг - 1)-е уравнение, вычислим далее, подставляя iCn-i н Хп в (п ~ 2)-е уравнение, получим значение и т. д, в этом случае мы получим вполне определенные значения для всех неизвестных х, х, . . ., х,. Поскольку решение системы п уравнений с п неизвестными сводится к вычислению обратной матрицы, то методом Гаусса можно эффективно вычислять обратную матрицу. Пусть дана матрица А. Напишем систему уравнений Ах = Ь и выразим все неизвестные аг, х, . . ., через элементы Ъ, Ь, . . ., Ь. Эти формулы имеют вид = Oiibi + ... + in&n (t = 1, 2, . . ., тг). Так как из Лх = b следует х = Лb, то матрица [а,] и будет искомой обратной матрицей. Замечание. Алгоритм Гаусса, вообще говоря, не годится для вычисления обращения матрицы с элементами из кольца, поскольку в кольце даже для ненулевых элементов может не существовать обратных. Поэтому, например, приведенный выше пример 2 нельзя решить с помощью алгоритма Гаусса. В подобных ситуациях необходимо вычислить обратную матрицу, пользуясь ее определением Л = \ А \ ~Ы*. При этом нам придется выполнить только одну операцию деления: вычислить Л Обратную матрицу можно построить, как нетрудно показать, с помощью алгоритма Гаусса, если решить п систем линейных уравнений вида Ах - е, где - j-й столбец единичной матрицы. При этом t-й столбец матрицы А~ будет решением системы Ах = е;. Иногда этим соображением удобно пользоваться для нахождения об ратной матрицы. Задачи. 1. Сформулируйте еще два определения детерминанта, отличающиеся от данных в тексте. 2. Вычислите определители матриц: -f 1 аЗ ат ар 32 1 ат Рт T+l. sin а cos а 1 sin р cos р 1 sin Т cos Т 1 3. Найдите максимальное значение, которое может принимать определитель 4-го порядка, если все его элементы числа ±1. 4. В какой перестановке чисел 1,2, . . ., п число инверсий наибольшее и чему оно равно? 5. Имеет ли обратную матрица А {t) с элементами из кольца функций, непрерывных на отрезке [О, 1]? Элементы матрицы Л {t): <ii(0 5i - 2, аз (i) - 1, (О - t, а (г) = t--i.
|